Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

Ver Teoria

Enunciado

Foi obtida uma amostra de 30 botas usadas por soldados em uma operação numa região de deserto e apresentou uma vida média de 1,24 anos e desvio padrão de 0,55 anos. Por outro lado, em situações normais o tempo médio de vida nominal destas botas é 1,40 anos.

Podemos afirmar ao nível de significância de 5% que a utilização destas botas no deserto diminui o seu tempo de vida?

(Mostre os resultados através do cálculo da estatística do teste.)

Passo 1

Bom, esse é um problema típico de teste de hipótese. O primeiro passo em qualquer problema desse tipo é definir as hipóteses.

H 0 :       μ = μ 0 = 1,40 H a :         μ < μ 0 = 1,40

Nossas hipóteses são: o tempo de vida médio é o mesmo apesar do usa na operação no deserto (hipótese nula) ou o tempo de vida médio diminui com o uso na operação (hipótese alternativa).

Trata-se de um teste unilateral à esquerda pois a limitação da hipótese alternativa restringe nossa análise para uma região à esquerda de μ 0 . Se a hipótese alternativa fosse μ > μ 0 , aí o teste seria unilateral à direita.

Para fazer o teste, temos que calcular o desvio padrão da média que é o desvio padrão amostral S = 0,55 dividido pela raiz quadrada de n = 30 :

σ = S n = 0,55 30 = 0,1004

Passo 2

Para fazer esse tipo de teste nós vamos usar a distribuição de Student com a variável

T = X - - μ 0 σ

Essa variável segue uma distribuição t de Student com n - 1 = 29 graus de liberdade. A seguir faço um esboço da situação:

Queremos descobrir o valor de T C tal que P T < - T C = 0,05 , que corresponde a região crítica do teste. Como a distribuição é simétrica, temos que

P T < - T C = 0,05 → P T > T C = 0,05

Para achar o valor de T C temos que olhar para a tabela dessa distribuição na linha correspondente a 29 graus de liberdade:

Nós achamos que

T C = 1,699

Passo 3

Agora vamos interpretar esse resultado para finalizar o teste de hipótese!

A hipótese H 0 deve ser rejeitada se T < - T C . Isso significa que

X - - μ 0 σ < - T C

Multiplicando a inequação por - 1 :

μ 0 - X - σ > T C → σ < μ 0 - X - T C = 1,40 - 1,24 1,699

Portanto,

σ < 0,09417

Isso significa que a região de rejeição de H 0 é dada por valores de σ menores que 0,09417 . Caso isso aconteça, podemos rejeitar a hipótese μ = μ 0 . Nesse caso, vimos no passo 1 que σ = 0,1004 , de modo que a condição para rejeição de H 0 não é satisfeita!

Isso significa que não podemos descartar, via teste estatístico, a hipótese H 0 de que a média dos tempos de vida é compatível com o valor de referência. Portanto, não podemos garantir com a significância de 5% que o tempo de vida médio das botas diminui com o uso, pois estatisticamente ele é compatível com a referência de 1,40 anos.

Resposta

Não.

Exercícios de Livros Relacionados

9-21.Refaca o Exercicio9-20.usando o tamanho da amostra igual a 16 e mantenha os limites da regiao de aceitacao.Que impacto a mudancano tamanho da amoslra tera nos resultados dos itens(a)e(b)
9-24.No Exereicio9 20.caleule a probabilidade de um erro tipo Il.sea saida media verdadeira for 5.05 Vc(a)a-0.05cn=10(b)c-0.05en=16(e) Compare os valores de B calculados nos itens anteriores.Que concl
9-19.No Exereicio9-15,caleule o valor p.se a estatistica observada for
Se plantarmos a probabilidade de aceitar H 0 : μ = μ 0 versos de vários valores de ir conectamos os pontos com uma curva suave, obteremos a curva característica operacional (ou a curva CO) o procedime
Uma hipótese será usada para testar que uma média da população é igual a 7 contra a alternativa de que a média da população não seja igual a 7, com variância conhecida. Quais são os valores críticos p