Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

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Enunciado

Pretende-se realizar um teste de hipótese de H 0 :   μ ≥ 10 versus H 1 :   μ < 10 com n = 25 ,

σ x = 3 e α = 0,1 .

  1. Aponte a estatística de teste e o critério de decisão (ou seja, as regiões de rejeição e de aceitação) a serem usados.
  2. Diga, no contexto de teste de hipóteses, o que são: o erro   I e o erro   I I . Determine a   P erro de tipo II para μ = 8,5 .
  3. Que decisão deve ser tomada se x = 8,2 nesta amostra com 25 elementos.

Passo 1

Levando em consideração que σ = 3 , n = 25 , α = 0,1 .

Determinamos as hipóteses:

H 0 :   μ = 10             H 1 :   μ < 10

Esse é só pra confundir nossa cabeça, pode usar o = que nem aprendemos lá na teoria que vai dar no mesmo!

Estariamos no terceiro caso, beleza? O teste unilateral inferior.

Nossa estatística de teste será:

Z t e s t e = x ¯ - μ σ n = x ¯ - 10 3 25

Z tem distribuição N o r m a l ( 0 ; 1 ) . Podemos usar a tabela da Normal.

Passo 2

Para o caso unilateral inferior, a gente sabe que nosso ponto crítico que vai definir a região crítica é definido por:

- z 1 - α

Como o α dado é 0,1 :

- z 1 - 0,1 = - z 0,9

Usando tabela, - z 0,9 = - 1,28 . Então nossa região crítica vai ser tudo que for MENOR que - 1,28 , já que estamos num teste unilateral INFERIOR. Ou seja, se:

Z t e s t e < - 1,28

Caímos na região crítica e rejeitamos a hipótese nula.

Passo 3

Substituindo em Z para achar para qual média amostral x - caímos na região de rejeição:

Z t e s t e = x ¯ - 10 3 25 < - 1,28

x ¯ < 10 - 1,28 × 3 5

x ¯ < 9,23

A gente considera que x ¯ = 9,23 é o valor de corte. A região de rejeição é x ¯ < 9,23   e a de aceitação é x ¯ > 9,23 .

Passo 4

(b)

A gente sabe que E r r o   I é rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira e E r r o   I I é aceitar H 0 quando H 0 é falsa.

A P [ E r r o   I I ] é obtida supondo μ = 8,5 . Esse é o erro de aceitar H 0 quando H 0 é falsa.

Temos que calcular a probabilidade do novo x ¯ c (de corte) ser maior do que o 9,23 que foi o x ¯ c que a gente encontrou.

P x ¯ > 9,23 =   ?

Padronizando:

P Z > 9,23 - 8,5 3 5 = P Z > 1,22 = 1 - P Z < 1,22

Usando a tabela da Normal:

1 - Φ 1,22 = 0,1112

Passo 5

(c)

Teríamos que x ¯ o b s = 8,2 .

Como esse valor é menor que 9,23 estaria dentro da região de rejeição.

Então, a decisão seria rejeitar a hipótese H 0 .

Resposta

a Região de rejeição → x ¯ < 9,23

c Rejeitar a hipótese H 0

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