Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

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Enunciado

Um grupo de arqueólogos propõe a teoria que o tamanho médio de crânios de seres humanos aumenta ao longo do tempo. Medições precisas garantem que atualmente tal quantidade comporta-se conforme uma distribuição normal, de média µ = 140mm e desvio padrão de 26mm. Uma amostra de 30 crânios, datadas de 6.000 anos atrás, foi observada, com um tamanho médio de 131,37mm. Desejamos aferir a validade da teoria proposta, ou seja, verificar se no passado o tamanho médio dos crânios era de fato menor. Para isso, queremos testar H 0   :   µ   ≥   140 contra H 1   :   µ   <   140 , admitindo que o desvio padrão não é afetado pela passagem do tempo.

(a) Diga, nesse contexto, o que significam os erros tipo I e II.

(b) Teste as hipóteses H 0 contra H 1 , ao nível de significância de 5%.

Passo 1

(a) O erro tipo I é sempre o erro que se comete ao rejeitar a hipótese nula, sendo ela verdadeira. Nesse caso, significa rejeitar que o tamanho médio dos crânios hoje seja maior ou igual do que antigamente (e na verdade, o tamanho médio dos crânios ser maior ou igual do que antigamente) . Da mesma forma, o erro do tipo II é sempre o erro que se comete ao aceitar a hipótese nula, sendo ela falsa. Nesse caso, seria aceitar que o tamanho médio dos crânios hoje é maior ou igual do que antigamente (e isso ser falso).

Passo 2

(b) Para testar a hipótese nula, repara que a gente quer um teste unilateral! Isso é porque a gente quer testar H 0   :   µ   ≥   140 contra H 1   :   µ   <   140 . Vamos então construir um I C unilateral em torno do parâmetro da hipótese nula (isso é, μ =   140 ) e ver se nossa média amostral cai nesse intervalo. Se não cair, rejeitamos H 0 .

Passo 3

Vamos construir esse intervalo então!

Repara que nosso I C vai ter que ser I C   =   [ μ - σ n × z 0,10 ,   ∞ ] .

E a gente tá usando z 0,10 porque é unilateral! Só se fosse bilateral que a gente usaria z 0,05 .

Agora é só substituir: I C   =   [ 140 - 26 30 × ( 1,65 )   ;   ∞ ]   → I C   =   [ 132,17   ;   ∞ ] .

Passo 4

Como temos x ̄   =   131,37 , nossa média amostral não caiu no intervalo! Sendo assim, rejeitamos a hipótese nula H 0 .

Resposta

(b) Rejeitamos a hipótese nula

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