Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

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Enunciado

Você é dono de uma empresa construtora e seleciona aleatoriamente 25 casas construídas recentemente. A média amostral do custo de construção é de $ 181.000 e do desvio padrão amostral é de $ 28.000 . Assumindo que os custos com a construção são normalmente distribuídos, pede-se:

a) Testar ao nível de significância de 5 % a hipótese nula do verdadeiro custo médio de construção ser $ 177.500

b) Testar ao nível de significância de 5 % a hipótese nula do verdadeiro desvio padrão de construção ser $ 24.000

Passo 1

a) Bora pra segunda questão dessa nossa última lista, galerinha!

Bem! As nossas hipóteses são:

H 0 :   μ = 177500

H 1 :   μ ≠ 177500

Por isso, primeiro calculamos a estatística de teste (lembrando que não conhecemos o desvio padrão populacional):

T t e s t e = x - - μ s n = 181000 - 177500 28000 25 = 0,625

Passo 2

Passo 3

Nossos pontos críticos são dados por:

= ∓ t 1 - α 2

Lembrando que α = 0,05 e v = 25 - 1 = 24 , podemos procurar esse cara na tabela T :

Sendo assim, temos que...

∓ t 1 - 0,05 2 ; 24 = ∓ t 0,975 ; 24 = ∓ 2,064

Passo 4

Portanto nosso gráfico fica:

Então não podemos rejeitar a hipótese nula, pois a estatística de teste cai fora da região crítica ( R C ) . A média pode, portanto, ser igual a $ 177500 .

Passo 5

b) Agora, vamos testar ao nível de significância de 5 % a hipótese nula do verdadeiro desvio padrão de construção ser $ 24000 .

Presta atenção! Se o desvio padrão é 24000 , então a variância vai valer...

σ 2 = 24000 2 = 576000000

Construindo nossas hipóteses:

H 0 : σ 2 = 576000000

H 1 :   σ 2 ≠ 576000000

Calculando a estatística de teste:

χ t e s t e 2 = n - 1 s ² σ 2 = 25 - 1 ⋅ 28000 ² 576000000 = 32,6667

Passo 6

Nossos pontos críticos para o teste Qui-Quadrado no caso Bilateral são:

χ c r í t i c o 2 = χ 1 - α 2 , v 2

χ c r í t i c o 2 = χ α 2 , v 2

Onde v = n - 1 = 25 - 1 = 24 . E como o nível de significância pedido foi de 5 % , α = 0,05 :

χ c r í t i c o 2 = χ 1 - 0,05 2 , 24 2

χ c r í t i c o 2 = χ 0,05 2 , 24 2

Olhando a tabela...

Temos que...

χ 0,975,24 2 ≅ 12,4

χ 0,025,24 2 ≅ 39,4

Como...

χ 0,975,24 2 < χ t e s t e 2 < χ 0,025,24 2

12,4 < 32,6667 < 39,4

Isso significa que nossa estatística de teste cai fora da região crítica ( R C ) , então não podemos rejeitar a hipótese nula. Ou seja, nosso desvio padrão populacional pode ser igual a $ 24.000 .

Resposta

a) Não rejeita-se H 0 . A média pode ser igual a $ 177500 .

b) Não rejeita-se H 0 . O desvio padrão populacional pode ser igual a $ 24.000 .

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