Exercícios Resolvidos de Trabalho Virtual

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 297, 7/8

A mola de constante k não está distendida quando θ = 0 . Obtenha uma expressão para a força P necessária para defletir o sistema de um ângulo θ . A massa das barras é desprezível.

Passo 1

Vamos usar o princípio dos trabalhos virtuais:

δ U = 0

Neste caso, temos duas forças: a força da mola ( F e l ) e a força P .

Podemos esquematizar isso assim:

Repare que a força elástica está na direção y , então vamos ter que o trabalho virtual da força elástica é:

δ U e l = - F e l δ y

Considerando:

y = 2 l - 2 l c o s θ

A força elástica está fazendo com que y diminua, por isso seu trabalho é negativo.

Já a força P está na direção x , e fazendo com que x aumente, então o trabalho da força P é:

δ U P = P δ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos melhorar a descrição do nosso sistema. A força elástica é dada por:

F e l = k y

Quanto vale y ?

Bom, pense no seguinte: se não houvesse P , a barra ficaria totalmente esticada:

Com a força P , o sistema fica assim:

Como a mola está conectada na parte circular superior, ela teve que se deslocar, certo?

Esse deslocamento será o comprimento máximo que a barra pode ter quando está esticada que é de 2 l menos o comprimento inicial que é 2 ( l c o s θ ) :

y = 2 l - 2 l c o s θ

Sendo assim, a força elástica será dada por:

F e l = k y       →         F e l = k ( 2 l - 2 l c o s θ )

Passo 3

Mas para achar o trabalho virtual da força elástica temos que derivar a equação de y em função de θ :

y = 2 l - 2 l c o s θ       →       δ y = 2 l s e n θ δ θ

Assim:

δ U e l = - F e l δ y = - k ( 2 l - 2 l c o s θ ) ( 2 l s e n θ δ θ )

Passo 4

E o trabalho da força P ?

Quanto vale x ? Bem, basta olhar os triângulos desenhados antes.

x = l s e n θ

Então, a derivada de x em função de θ é:

δ x = l c o s θ δ θ

Assim:

δ U P = P δ x = P l c o s θ δ θ

Passo 5

Agora vamos ter que a soma dos trabalhos virtuais deve ser nula:

δ U = 0       →         δ U e l + δ U P = 0

P l c o s θ δ θ - k 2 l - 2 l c o s θ 2 l s e n θ δ θ = 0

Vamos cortar δ θ e arrumar isso aí:

P l c o s θ - k 2 l - 2 l c o s θ 2 l s e n θ = 0

P = 4 k l s e n θ - s e n θ c o s θ c o s θ

P = 4 k l ( t a n θ - s e n θ )

Resposta

P = 4 k l ( t a n θ - s e n θ )

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