Exercícios Resolvidos de Tubos de Paredes Finas

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Enunciado

O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10   m m . Se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 80   M P a , determine o torque máximo T que ele pode transmitir. Calcule também o ângulo de torção de uma extremidade do tubo em relação à outra se o tubo tiver 4   m de comprimento. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimensões médias são mostradas na figura.

Dados: G a ç o = 75   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

O tubo de paredes finas retangular tem dimensões médias de 30   m m e 70   m m . Consequentemente, ele tem uma área média A m e um perímetro da área média s :

A m = 30   m m 70   m m = 2100   m m 2

&

s = 2 30   m m + 2 70   m m = 200   m m

Além disso, ele possui:

  • Uma espessura constante t = 10   m m ;
  • Uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 80   M P a ;
  • Um módulo de elasticidade transversal G = G a ç o = 75   G P a ;
  • & um comprimento L = 4   m .

Devido a um torque T aplicado, ele vai sofrer uma tensão de cisalhamento média τ m é d e um ângulo de torção ϕ que vão ser dados pelas fórmulas:

τ m é d = T 2 t A m

&

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer saber qual é o torque T máximo que pode ser aplicado de tal forma que a tensão de cisalhamento média τ m é d na peça não ultrapasse a admissível:

τ m é d ≤ τ a d m

Em seguida, ele quer que a gente use o valor encontrado para T para calcular o ângulo de torção no tubo ϕ correspondente.

Passo 2

Então para encontrar o torque T máximo, vamos pegar a nossa condição de projeto:

τ m é d ≤ τ a d m

E desenvolvê-la, até que seja possível isolar o torque T .

A primeira coisa que podemos fazer é aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento média para tubos de paredes finas:

τ m é d = T 2 t A m

Fazendo isso, a nossa condição de projeto fica assim:

T 2 t A m ≤ τ a d m

Isolando o torque T , temos que:

T ≤ τ a d m 2 t A m

Finalmente, substituindo os valores:

  • τ a d m = 80   M P a = 80   N / m m 2 ;
  • t = 10   m m ;
  • & A m = 2100   m m 2 ,

Encontramos que:

T ≤ 3360000   N * m m

Reescrevendo isso em k N * m , temos que:

T ≤ 3,36   k N * m

Ou seja, T = 3,36   k N * m é o torque máximo que pode ser transmitido por esse tubo.

Passo 3

Agora, para a segunda parte do exercício, vamos calcular o ângulo de torção ϕ nesse tubo de paredes finas aplicando a sua fórmula:

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

No caso do nosso tubo, a espessura t é constante: ela é sempre igual à 10   m m ao longo de todo o perímetro s .

Então podemos colocar a espessura t do lado de fora da integral:

ϕ = T L 4 A m 2 G t ∮ d s

Em seguida, temos que a integral de todos os pedaços infinitesimais do perímetro da área média d s vai ser o próprio perímetro da área média s :

∮ d s = s

Dessa forma, o nosso ângulo de torção ϕ vai ficar assim:

ϕ = T L s 4 A m 2 G t

Substituindo os valores:

  • T = 3,36   k N * m = 3360   k N * m m ;
  • L = 4   m = 4000   m m ;
  • s = 200   m m ;
  • A m = 2100   m m 2 ;
  • G = 75   G P a = 75   k N / m m 2 ;
  • & t = 10   m m ,

E calculando tudo, encontramos que:

ϕ = 0,2032   r a d

A maioria dos professores prefere que os resultados finais sejam dados em graus ( ° ), então vamos fazer a conversão do ângulo acima de radianos para graus!

Para tanto, podemos perceber que:

π   r a d = 180 °

Ou seja:

r a d = 180 ° π

Substituindo isso no ângulo de torção encontrado, temos que:

ϕ = 0,2032   180 ° π

Calculando isso, encontramos nossa resposta para a segunda e última parte do exercício:

ϕ = 11,6 °

Resposta

T = 3,36   k N * m

&

ϕ = 11,6 °

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