Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Regiões Planas

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Enunciado

Calcule a temperatura média de uma placa limitada pelos eixos cartesianos e pelas retas x = 1 y = 1 + x , sabendo que a temperatura em cada ponto obedece a função

T x , y = ( 2 x 2 + x ) e x y

Passo 1

Vamos organizar as informações que o problema deu pra gente e entender o que precisamos fazer. O enunciado pediu pra calcular uma temperatura média, certo? Então já imaginamos que vamos ter que usar a fórmula do valor médio:

V a l o r   M é d i o = ∬ D f ( x , y ) d A Á r e a   ( D )

No caso a nossa função vai ser a da temperatura dada:

T x , y = x 2 e x y

Precisamos então determinar os limites da nossa região D para poder calcular a integral dupla de T ( x , y ) e, por fim, calcular a área de D , vamos lá?

Passo 2

Vamos descrever a nossa região D , graficamente ela é assim:

A maneira mais fácil de escolher os limites de integração vai ser pelo tipo I , nesse caso, definimos y como o intervalo entre zero e a função y = 1 + x

0 ≤ y ≤ 1 + x

0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Beleza, definidos os limites, podemos pensar na nossa integral dupla, lembrando que a função que o enunciado deu foi T x , y = 2 x 2 + x e x y

∬ D T ( x , y ) d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 + x ( 2 x 2 + x ) e x y d y d x

Integrando em y , vamos considerar x como constante, com isso:

∫ 0 1 2 x 2 + x e x y x y = 0 y = 1 + x d x = ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) e x + x 2 - 1 d x

Para fazer essa integral aí, vamos ter que aplicar uma mudança de variável, fica assim:

x 2 + x = u

2 x + 1 d x = d u

x = 1 → u = 2

x = 0 → u = 0

Substituindo tudo isso, temos que:

= ∫ 0 2 e u - 1 d u = e 2 - 3

∬ D T ( x , y ) d A = e 2 - 3

Passo 4

Calculada a nossa integral dupla, vamos continuar o passo a passo calculando a área da região D . Nessa questão aqui tem dois jeitos de fazer, vou mostrar os dois e você escolhe qual achou mais simples, beleza?

O primeiro é o que vai dar certo sempre! Aquele que, mesmo que o enunciado te dê a região mais bizarra do mundo a gente consegue calcular a área: pela integral dupla!

Á r e a   D = ∬ D d A = ∫ 0 2 ∫ 0 1 + x d y d x

= ∫ 0 2 1 + x d x

= x + x 2 2 x = 0 x = 1 = 1 + 1 2 = 3 2

O segundo jeito é mais visual, percebe que a nossa região pode ser dividida em um quadrado e um triângulo assim:

O quadrado tem lado igual a 1 , portanto sua área é simples de calcular.

O triângulo tem base e altura iguais a 1 também, portanto, podemos calcular a área da região D como a soma das duas áreas!

Á r e a   D = A q u a d r a d o + A t r i â n g u l o = 1 2 + 1.1 2

Á r e a   D = 1 + 1 2 = 3 2

Passo 5

Temos então o valor da integral e da área da região, agora é só jogar esses valores na fórmula do valor médio!

V a l o r   M é d i o = ∬ D T x , y d A Á r e a   D = e 2 - 3 3 / 2

V a l o r   M é d i o = 2 e 2 - 3 3

Resposta

2 e 2 - 3 3