Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Regiões Planas

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Enunciado

Encontre a altura média do paraboloide z = x 2 + y 2 sobre o quadrado 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Essa questão é um pouco diferente, né? Não vimos em nenhum exemplo anterior como calcular uma altura média. Vamos tentar entender melhor o que o enunciado está pedindo.

A partir do momento que ele fala da média de uma função contínua, nos faz imaginar que vamos precisar usar a fórmula do valor médio

V a l o r   M é d i o = ∬ D f ( x , y ) d A Á r e a   ( D )

Beleza, só precisamos então escrever a altura do paraboloide como uma função de x e y ! E como faremos isso?

De certa forma, a gente já se acostuma a ver o eixo z como a altura de alguns objetos, isso porque ele está “meio que” pra cima em todas as questão, com isso, não é muito difícil imaginar a altura h ( x , y ) como a própria equação do paraboloide!

h x , y = z = x 2 + y 2

Agora ficou mais simples, certo? Temos a nossa função e o nosso domínio D definido pelo enunciado, é só calcular a integral dupla e a área pra chegarmos na resposta! Vamos lá?

Passo 2

Como nosso domínio já está definido no enunciado, podemos ir direto para o cálculo da integral dupla. Nesse caso, tanto faz a ordem de integração que escolhermos, fazendo pelo tipo I então:

∬ D h x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 + y 2 d y d x

Integrando-se em y :

= ∫ 0 2 x 2 y + y 3 3 y = 0 y = 2 d x = ∫ 0 2 2 x 2 + 8 3 d x

Integrando-se em x :

= 2 x 3 3 + 8 x 3 x = 0 x = 2 = 16 3 + 16 3 = 32 3

∬ D h x , y d A = 32 3

Passo 3

Vamos agora analisar a área da nossa região D . Note que o enunciado mesmo já nos diz que é um quadrado! Bem tranquilo, né? Nesse caso o nosso quadrado tem lado igual a 2 , portanto:

Á r e a   D = 2 2 = 4

Passo 4

Pronto, calculada a integral dupla e a área de D , é só juntar tudo na fórmula do valor médio.

V a l o r   M é d i o = ∬ D h x , y d A Á r e a   D = 32 / 3 4

V a l o r   M é d i o = 8 3

Resposta

8 3