Exercícios Resolvidos de Valores Médios em Regiões Planas

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Encontre o valor médio de f x , y = sen ( x + y ) sobre o retângulo 0 x π , 0 y π / 2

Passo 1

Acabamos de aprender esse tipo de questão, né? Você vai perceber que é um método de resolução bem pratico, é só seguir o passo a passo do final da teoria!

O passo 1 nos diz para montarmos o problema né? Vamos colocar a fórmula do valor médio aqui e pensar no que precisamos calcular de forma organizada.

V a l o r   M é d i o = D f ( x , y ) d A Á r e a D

Portanto precisamos definir a nossa região D , que nesse caso é um retângulo. Em seguida calcular a integral dupla de f ( x , y ) e, por fim, calcular a área dessa região! Depois é só voltar pra fórmula e substituir os valores, vamos lá?

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Passo 2

Nossa região é bem simples de se definir, vai ser um retângulo cujos limites já estão explícitos no enunciado, então esse passo vai ser só pra gente deixar indicado mesmo quais são nossos limites de integração:

0 x π

0 y π 2

Passo 3

Definida a nossa região, podemos agora fazer a nossa integral para a função

f x , y = sen x + y

A ordem de integração aqui não influencia muito nas contas nenhuma, vamos fazer aqui o tipo I I , mas sinta-se a vontade se preferir o outro tipo!

D f ( x , y ) d A = 0 π 2 0 π sen x + y d x d y

Integrando em x :

= 0 π 2 - cos x + y x = 0 x = π d y = 0 π 2 - cos π + y - cos y d y

= 0 π 2 cos y - cos π + y d y

Integrando em y :

= sen y - sen π + y y = 0 y = π / 2 = sen π 2 - sen 3 π 2 - sen 0 - sen π

= 1 - - 1 - 0 - 0 = 2

D f ( x , y ) d A = 2

Passo 4

Vamos agora calcular o outro termo da fórmula do valor médio: a área da região D . Perceba que aqui, caso tivéssemos alguma região muito complicada teríamos que fazer outra integral dupla, certo? Só que, nesse exercício, a região D é um retângulo, que tem área definida como base vezes altura!

Qual vai ser nossa base e nossa altura então? São os limites de x e y ! Não precisa nem esboçar, mas se você quisesse ver, nossa região é isso aqui:

A r e a D = b . h = π . π 2 = π 2 2

Passo 5

Portanto, juntando os valores que calculamos nos passos 3 e 4 e, voltando para aquela fórmula lá do começo, vemos que:

V a l o r   M é d i o = D f ( x , y ) d A Á r e a D = 2 π 2 / 2

V a l o r   M é d i o = 4 π 2

Resposta

4 π 2

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