Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 259-4.40.

Uma barra de aço ( E a ç o = 210   G P a ) e uma barra de alumínio ( E a l u m = 70   G P a ) são unidas para formar a barra composta mostrada na figura. Determine a tensão máxima, ( a ) no alumínio e ( b ) no aço, quando a barra é flexionada em torno do eixo horizontal, com M = 200   N * m .

Passo 1

O que está acontecendo?

A viga composta da figura é feita de aço (com um módulo de elasticidade E a ç o = 210   G P a ) e alumínio (com um módulo de elasticidade E a l u m = 70   G P a ).

Um momento M = 200   N * m em torno do eixo horizontal é aplicado nessa viga, gerando tensões normais de flexão σ nela.

Lembrando que, como a viga é composta, precisamos usar o método da seção transformada para calcular essas tensões σ nela.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber as tensões máximas ( a ) no alumínio e ( b ) no aço nessa viga.

Para tanto, vamos ter que:

1. Transformar a seção composta em uma seção transformada feita toda de um material;

Aqui, escolhendo por transformar a parte de aço em uma parte equivalente de alumínio, vamos ter que definir um fator de transformação n = E a ç o / E a l u m para podermos calcular a largura b ' = n b da parte equivalente.

2. Calcular as propriedades geométricas ( y - e I ) para essa seção transformada;

& 3. Calcular as tensões no alumínio e no aço usando a fórmula da flexão, sabendo que as tensões no aço devem ser multiplicadas por n , uma vez que ele teve sua largura transformada.

Ou seja, vamos calcular as tensões no alumínio através da fórmula:

σ a l u m = - M y I

E as tensões no aço através da fórmula:

σ a ç o = - n M y I

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar pelo primeiro passo, que é a:

Começamos definindo o fator de transformação:

n = E a ç o E a l u m = 210   G P a 70   G P a = 3

E calculamos o valor da largura b ' da parte de alumínio equivalente à parte de aço:

b ' = n b

Aqui, substituindo n = 3 e vendo na figura do exercício que a parte de aço tem uma largura original b = 12   m m , vamos ter que:

b ' = 3 12   m m = 36   m m

Dessa forma, a nossa seção transformada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos seguir com o cálculo das:

Primeiro, devemos encontrar a posição y - da linha neutra para essa seção transformada.

Então vamos lá!

Começamos separando a nossa seção transformada em elementos numerados e definimos a base da seção como a posição 0 :

Feito isso, preenchemos em uma tabela os valores das áreas A i e das posições dos centros y - i de cada elemento, aproveitando as dimensões do desenho feito ao final do passo anterior:

Nessa tabela, ainda preenchemos na última coluna o valor do produto A i y - i para cada elemento e na última linha o valor dos somatórios das áreas ∑ A i e dos produtos ∑ A i y - i .

Assim, conseguimos calcular a posição y - da linha neutra:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i = 15552   m m 3 1152   m m 2 ≅ 13,5   m m

Passo 4

Calculada a posição y - da linha neutra, podemos agora calcular o momento de inércia da área I para a seção transformada.

Para tanto, começamos calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento, aproveitando as dimensões de cada elemento indicadas nos desenhos anteriores.

Para o elemento 1 , que é retangular de base b = 12 + 36 + 12 = 60   m m e altura h = 12   m m , vamos ter:

I 1 = b h 3 12 = 60 12 3 12 = 8640   m m 4

Já para o elemento 2 , retangular de base b = 36   m m e altura h = 12   m m , temos:

I 2 = b h 3 12 = 36 12 3 12 = 5184   m m 4

Em seguida, temos que determinar as distâncias d i entre o centro de cada elemento e a linha neutra:

O centro do elemento 1 está a uma altura de 18   m m , então sua distância d 1 vai dar:

d 1 = 18 - 13,5 = 4,5   m m

Já o centro do elemento 2 está a uma altura de 6   m m , então sua distância d 2 vai dar:

d e = 13,5 - 6 = 7,5   m m

Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área da seção transformada como um todo:

I = ∑ I i + A i d i 2

Realizando esse somatório, temos:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + ( I 2 + A 2 d 2 2 )

Substituindo os valores:

  • I 1 = 8640   m m 4 , A 1 = 720   m m 2 e d 1 = 4,5   m m ;
  • & I 2 = 5184   m m 4 , A 2 = 432   m m 2 e d 2 = 7,5   m m ,

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I = 52704   m m 4

Passo 5

Finalmente, podemos fazer o:

Aqui, devemos primeiro identificar as posições y em relação à linha neutra dos pontos em que queremos calcular as tensões σ no alumínio e no aço.

Queremos calcular as tensões máximas no alumínio e no aço, então queremos usar as posições y máximas em termos absolutos para o alumínio e para o aço.

Olhando para os desenhos anteriores que fizemos para a nossa seção, vemos que:

  • Os pontos do alumínio mais distantes da linha neutra ficam na borda inferior da viga, onde y i n f = - 13,5   m m ;
  • Enquanto que os pontos do aço mais distantes da linha neutra ficam na borda superior da viga, onde y s u p = + 10,5   m m .

Então, aplicando a fórmula da flexão σ = - M y / I para o cálculo da tensão máxima no alumínio, vamos ter:

σ a l u m m á x = - M y i n f I

Substituindo os valores abaixo, sempre em função das unidades N e m m :

  • M = 200   N * m = 200000   N * m m ;
  • y i n f = - 13,5   m m ;
  • & I = 52704   m m 4 ,
  • Vamos ter que:

    σ a l u m m á x = - 200000 - 13,5 52704   N / m m 2

    Calculando isso e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

    σ a l u m m á x ≅ + 51 , 2   M P a

    O que é uma tensão de tração, como demonstrado pelo sinal positivo.

    Já para o aço, como ele teve sua largura transformada por um fator de transformação n , a sua fórmula da flexão deve ser multiplicada por n .

    Dessa fórmula, aplicando a fórmula da flexão, multiplicada por n , para o cálculo da tensão máxima no aço, vamos ter:

    σ a ç o m á x = - n M y s u p I

    Aí, substituindo os valores, sempre em função de N e m m :

  • n = 3 ;
  • M = 200   N * m = 200000   N * m m ;
  • y i n f = + 10 , 5   m m ;
  • & I = 52704   m m 4 ,

E calculando tudo, vamos encontrar que:

σ a ç o m á x ≅ - 119,5   M P a

O que é uma tensão de compressão, como demonstrado pelo sinal negativo.

E assim, lembrando que a letra ( a ) queria saber a tensão máxima no alumínio e a letra ( b ) queria saber a tensão máxima no aço, terminamos o nosso exercício:

Resposta

a   51,2   M P a

b - 119,5   M P a

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