Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

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Enunciado

Deseja-se reforçar uma barra de latão usando duas barras de aço como mostradas na figura. Sabendo disso determine o valor da tensão normal máxima sofrida por essa peça que sofre a ação de um momento fletor de intensidade 432   K N . m .

E a ç o = 200   G p a

E l a t ã o = 101 G p a

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão, temos que ter na mente duas situações muito importante. A primeira é saber que algum dos materiais terá que ser transformado em um equivalente do outro. E que para fazer essa equivalência precisamos calcular o valor de n e b’.

Executado esses dois primeiros passos, todo o resto se torna mais fácil pois usamos as fórmulas de flexão que já conhecemos.

Então vamos lá, sabemos que o cálculo de n depende dos materiais que serão transformados e dos módulos de elasticidade.

A fórmula é

n = E t r a n s f o r m a d a   E i n t a c t a

Por conveniência eu sempre escolho transformar o material de módulo de elasticidade menor, nesse caso o latão, dessa forma o nosso valor de n será

n = 1 0 1 200 = 0,505

Para determinar b’ é simples, é só multiplicar a largura do material que iremos transformar pelo valor de n que determinamos antes, então

b ' = n b

b ' = 0 , 505   .   23 = 11,6   c m

Agora temos um perfil I para resolvermos

Passo 2

Agora que já sabemos como é nossa seção equivalente, devemos saber algumas coisas sobre como iremos calcular as nossas tensões normais

Primeiro temos que saber que a fórmula entre as tensões na parte intacta e na parte transformada são calculadas por fórmulas diferentes, e as fórmulas são

σ i n t a c t a = - M . Y I

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

Ou seja, na parte transformada consideramos para o cálculo da tensão o valor de n.

Outro ponto importante é se atentar para o valor de Y quando for calcular tanto a seção intacta quanto a transformada. Agora que já sabemos isso vamos ao cálculo.

Passo 3

Sabemos que o valor do momento é facilmente adquirido, além do mais ele já foi dado no enunciado

M = 432   K N . m

Com relação ao valor de Y teremos que descobrir a posição da linha neutra, como a nossa seção é simétrica, sabemos que a linha neutra passa no centro da seção

Com relação ao valor de Y teremos que

Para o trecho acima da linha neutra

Y a ç o / e x t r e m i d a d e = 47 2 + 17,8 c m = - 41,3   .   10 - 2 m

Y l a t ã o / a ç o = 47 2 c m = - 23,5   .   10 - 2 m

Lembrando que o negativo existe pelo fato de arbitrarmos y negativo pra cima

Para o trecho abaixo da linha neutra, pela simetria, temos os mesmos valores de cima.

Também já calculamos no primeiro passo o valor de n, logo

n = 0 , 505

Agora só falta o momento de inércia

Passo 4

Para o cálculo do momento de inércia teremos que usar de novo o nosso passo a passo. Sabemos que para calcularmos momentos de inercia precisamos determinar 3 coisas. As áreas de cada elemento, a distância do centroide de cada elemento até a linha neutra e por fim o momento de inercia de cada elemento. Como os elementos são retangulares, teremos que o momento de inercia deles é

I i = B H 3 12

A figura abaixo representa as distâncias dos centroides de cada elemento até a linha neutra

Lembrando que o elemento do meio já tem seu centroide em cima da linha Neutra, logo esse valor na nossa conta é zero.

E nessa imagem temos as medidas para calcularmos os momentos de inercia

Calculando o momento de inercia de cada elemento teremos que

I 1 = I 3 = 0,23   .   0,1 78 3 12 = 1,1   .     10 - 4 m

I 2 = 0 , 116   .   0,47 3 12 = 1,0   .     10 - 3 m

E no passo anterior já temos também como determinado o valor das áreas

A 1 = A 3 = 0,23   .     0,178 = 0,041   m 2

A 2 = 0,116   .   0,47 = 0 , 054   m 2

Agora que já temos todos os valores, basta calcularmos o momento de inercia para a fórmula

I = ∑ ( I i + A i   .     d i 2 )

I = 2 . 1,1   .     10 - 4 + 0,041   .   0 , 324 2 + 1,0   .     10 - 3 + 0,054     .   0 2 = 9,83   .     10 - 3 m 4

Passo 5

Agora que já temos todos os valores basta calcularmos as tensões

Para o caso intacto, temos o ponto extremo do aço e o ponto interface aço latão, então calcularemos duas tensões.

σ i n t a c t a = - M . Y I

Caso extremidade do aço

M = 432   K N . m

Y a ç o / e x t r e m i d a d e = 41,3   c m = - 41,3   .   10 - 2 m

I = 9,83   .     10 - 3 m 4

σ i n t a c t a = - 432   . - 41,3   .   10 - 2 9,83   .     10 - 3 = 18150,2   K N m 2 = 18,15   M p a

Caso interface aço-madeira

M = 432   K N . m

Y l a t ã o / a ç o = 47 2 c m = - 23,5   .   10 - 2 m

I = 9,83   .     10 - 3 m 4

σ i n t a c t a = - 432   . - 23,5   .   10 - 2 9,83   .     10 - 3 = 10327,6   K N m 2 = 10,33   M p a

Passo 6

Caso interface latão aço (caso transformado)

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

M = 432   K N . m

Y l a t ã o / a ç o = 47 2 c m = - 23,5   .   10 - 2 m

I = 9,83   .     10 - 3 m 4

n = 0 , 50 5

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0 , 50 5 . 432 . - 23,5   .   10 - 2 9,83   .     10 - 3 = 5215,4   K N m 2 = 5,21   M p a

Olhando o gráfico teremos que o valor máximo ocorre nas extremidades, logo teremos que

σ m á x = 18,15   M p a

Resposta

σ m á x = 18,15   M p a

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