Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 239&240-6.125.

A viga composta é feita de aço A-36 ( A ) e latão vermelho C83400 ( B ) e tem a seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um momento M = 6,5   k N * m , determine a tensão máxima no latão e no aço. Determine também a tensão em cada material na junção entre eles.

Dados: E a ç o = 200   G P a , E l a t = 101   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

Nesse exercício, nós temos uma viga composta por uma parte superior de aço (com módulo de elasticidade E a ç o = 200   G P a ) e uma parte inferior de latão (com módulo de elasticidade E l a t = 101   G P a ).

Além disso, tanto a parte de aço quanto a parte de latão possuem uma altura h = 100   m m e uma largura ou base b = 125   m m .

A viga é submetida a um momento M = 6,5   k N * m , que vai gerar tensões normais de flexão σ nela.

Mas como ela é composta, não podemos usar diretamente a fórmula da flexão nela.

Precisamos primeiro usar o método da seção transformada (que também pode ter infinitos outros nomes como método da área equivalente ou método da largura equivalente).

De acordo com esse método, se escolhermos transformar a parte de latão em uma parte equivalente de aço, por exemplo, devemos definir um fator de transformação n :

n = E l a t E a ç o

Para depois calcular a largura b ' da parte de aço equivalente à parte de latão:

b ' = n b

Dessa forma, vamos conseguir definir uma seção transformada ou equivalente feita toda de aço:

Assim, para essa seção transformada, será possível calcular as tensões normais de flexão σ normalmente, através dos passos que já conhecemos:

  • Determinação da posição y - da linha neutra;
  • Determinação do momento de inércia da área I para a seção;
  • E finalmente, aplicação da fórmula da flexão σ = - M y / I .

Aí, ao final, as tensões σ no aço podem ser calculadas diretamente pela fórmula da flexão, enquanto que as tensões σ no latão, que teve sua largura transformada, devem ser multiplicadas por n .

Ou seja:

σ l a t = - n M y I

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão σ máxima no latão e no aço, que vão ocorrer nas bordas inferior e superior da seção.

Além disso, ele também que a gente determine as tensões σ no latão e no aço no ponto em que há a interface entre esses materiais.

Então, para resolver o exercício, vamos:

  • Transformar a seção composta em uma seção transformada feita toda de aço;
  • Calcular as propriedades geométricas ( y - e I ) para essa seção transformada;
  • Identificar as posições y em relação à linha neutra das bordas inferior e superior da seção, além da posição y da borda entre os materiais;
  • E, finalmente, aplicar a fórmula σ a ç o = - M y / I para determinar as tensões no aço e a fórmula σ l a t = - n ( M y / I ) para determinar as tensões no latão, uma vez que o latão teve sua largura transformada anteriormente.
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Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, vamos fazer a:

Para tanto, começamos definindo o fator de transformação:

n = E l a t E a ç o

Substituindo os valores desses módulos de elasticidade E de acordo com os dados fornecidos pelo exercício, vamos ter que:

n = ( 101   G P a ) ( 200   G P a ) = 0,505

Agora, podemos calcular o valor da largura b ' da parte de aço equivalente à parte de latão:

b ' = n b

Substituindo n = 0,505 e a largura original da parte de latão, b = 125   m m , temos:

b ' = 0,505 125   m m = 63,125   m m

Dessa forma, a nossa seção transformada fica assim:

Passo 3

Agora, podemos determinas as:

Primeiro, determinamos a posição y - da linha neutra.

Para tanto, começamos numerando os elementos da seção transformada e estabelecendo a base da seção como a posição 0 :

Com isso, podemos preencher uma tabela com os valores das áreas A i e das posições dos centros y - i de cada elemento:

Sendo que, ainda nessa tabela, também preenchemos na coluna final os valores dos produtos A i y - i para cada elemento e na linha final os valores dos somatórios das áreas A i e dos produtos A i y - i .

Assim, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra:

y - = A i y - i A i = 2190,625 * 10 3   m m 3 18812,5   m m 2 116,4 5   m m

Passo 4

Depois de termos calculado a posição da linha neutra, calculamos o momento de inércia da área I para a seção transformada.

Começamos calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento.

Para o elemento retangular 1 , vamos ter:

I 1 = b h 3 12 = 125 100 3 12 10,417 * 10 6   m m 4

Já para o elemento retangular 2 , que tem a base transformada b ' , vamos ter:

I 2 = b ' h 3 12 = 63,125 100 3 12 5,2604 * 10 6   m m 4

Em seguida, temos que determinar as distâncias d i entre o centro de cada elemento e a linha neutra:

O centro do elemento 1 está a uma altura de 150   m m , então sua distância d 1 vai ser:

d 1 = 150 - 116,45 = 33,55   m m

Já o centro do elemento 2 está a uma altura de 50   m m , então sua distância d 2 vai ser:

d 2 = 116,45 - 50 = 66,45   m m

Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área da seção transformada como um todo:

I = I i + A i d i 2

Realizando esse somatório, temos:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + ( I 2 + A 2 d 2 2 )

Substituindo os valores:

  • I 1 = 10,417 * 10 6   m m 4 , A 1 = 12500   m m 2 e d 1 = 33,55   m m ;
  • & I 2 = 5,2604 * 10 6   m m 4 , A 2 = 6312,5   m m 2 e d 2 = 66,45   m m ,

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I = 57,62 * 10 6   m m 4

Passo 5

Finalmente, podemos fazer o:

Aqui, devemos primeiro identificar as posições y em relação à linha neutra dos pontos em que queremos calcular as tensões σ no aço e no latão.

Como queremos calcular as tensões nas bordas inferior e superior da seção, e na borda entre os materiais, vamos observar as posições dessas bordas:

Desse esquema acima, vemos que a borda superior tem uma posição em relação à linha neutra:

y s u p = 200 - 116,45 = + 83,55   m m

Já a borda na junção entre os materiais tem uma posição:

y j u n ç ã o = 100 - 116,45 = - 16,45   m m

Enquanto que a borda inferior tem uma posição:

y i n f = 0 - 116,45 = - 116,45   m m

Dessa forma, a tensão na borda superior, que vai ser a tensão máxima na região superior ocupada pelo aço, vai ser:

σ m á x a ç o = - M y s u p I

Substituindo todos os valores em função de N e m m :

  • M = 6,5   k N * m = 6,5 * 10 6   N * m m ;
  • y s u p = + 83,55   m m ;
  • & I = 57,62 * 10 6   m m 4 ,
  • Encontramos que:

    σ m á x a ç o = - 6,5 * 10 6 + 83,55 57,62 * 10 6   N / m m 2

    Simplificando isso, e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , temos que:

    σ m á x a ç o = - 6,5 83,55 57,62   M P a

    O que dá:

    σ m á x a ç o - 9,43   M P a

    Já a tensão no aço na região da junção entre os materiais vai ser:

    σ j u n ç ã o a ç o = - M y j u n ç ã o I

    Seguindo os mesmos passos da tensão que acabamos de calcular, mas dessa vez usando y j u n ç ã o = - 16,45   m m , vemos encontrar que:

    σ j u n ç ã o a ç o = - 6,5 - 16,45 57,62   M P a

    O que dá:

    σ j u n ç ã o a ç o 1,86   M P a

    Agora...

    Para as tensões no latão, que teve sua largura transformada pelo fator de transformação n = 0,505 , a fórmula da flexão deve ser multiplicada por n .

    Dessa forma, a tensão na borda inferior, que vai ser a tensão máxima na região inferior ocupada pelo latão, vai ser:

    σ m á x l a t = - n M y i n f I

    Enquanto que a tensão no latão na região da junção entre os materiais vai ser:

    σ j u n ç ã o l a t = - n M y j u n ç ã o I

    Substituindo nessas equações todos os valores em função de N e m m :

    • n = 0,505 ;
    • M = 6,5   k N * m = 6,5 * 10 6   N * m m ;
    • y i n f = - 116,45   m m e y j u n ç ã o = - 16,45   m m ;
  • & I = 57,62 * 10 6   m m 4 ,

Elas ficam assim:

σ m á x l a t = - 0,505 6,5 * 10 6 - 116,45 57,62 * 10 6   N / m m 2

&

σ j u n ç ã o l a t = - 0,505 6,5 * 10 6 - 16,45 57,62 * 10 6   N / m m 2

Daí, calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

σ m á x l a t 6,63   M P a

&

σ j u n ç ã o l a t 0,937   M P a

E assim terminamos o nosso exercício!

Por fim, na hora de fornecer os resultados, podemos colocar somente os seus valores absolutos e indicar entre parênteses se são tensões de tração ou compressão:

Resposta

Tensões máximas :

σ m á x a ç o 9,4 3   M P a   (Compressão)

σ m á x l a t 6,63   M P a   (Tra ção )

Já na junção:

σ j u n ç ã o a ç o 1,86   M P a   (Tra ção )

σ j u n ç ã o l a t 0,937   M P a   (Tra ção )

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