Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

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Enunciado

As partes superior e inferior da viga de madeira são reforçadas com tiras de aço, como mostra a figura. Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M = 5   k N * m . Trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal. Considere E m a d = 11   G P a , E a ç o = 200   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

A viga é composta por:

  • Uma seção central de madeira de base b = 200   m m e altura h m a d = 300   m m , com um módulo de elasticidade E m a d = 11   G P a ;
  • E tiras de aço nas partes superior e inferior, com bases b = 200   m m , alturas h a ç o = 20   m m e um módulo de elasticidade E a ç o = 200   G P a .

Ela é submetida a um momento M = 5   k N * m , que vai gerar tensões normais de flexão σ nela.

Mas como ela é composta, não podemos usar diretamente a fórmula da flexão nela.

Precisamos primeiro usar o método da seção transformada.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber as tensões de flexão σ máximas na madeira e no aço devido ao momento M aplicado.

Além disso, ele ainda quer que a gente faça um rascunho da distribuição de tensões que age na seção transversal dessa viga.

Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:

1. Transformar a seção composta em uma seção transformada feita toda de um material;

Aqui, escolhendo por transformar a parte de madeira em uma parte equivalente de aço, vamos ter que definir um fator de transformação n = E m a d / E a ç o e calcular a largura b ' = n b da parte equivalente.

2. Calcular as propriedades geométricas ( y - e I ) para essa seção transformada;

Aqui, como essa viga é simétrica em relação à horizontal, já conseguimos perceber que a sua linha neutra vai estar na posição central y - = 20 + 300 + 20 / 2 = 340 / 2 = 170   m m .

& 3. Calcular as tensões na madeira e no aço usando a fórmula da flexão, sabendo que as tensões na madeira devem ser multiplicadas por n , uma vez que ela teve sua largura transformada.

Ou seja, vamos calcular as tensões no aço através da fórmula:

σ a ç o = - M y I

E as tensões na madeira através da fórmula:

σ m a d = - n M y I

Passo 2

Então vamos começar pelo primeiro passo, que é a:

Para tanto, definimos o fator de transformação:

n = E m a d E a ç o = 11   G P a 200   G P a = 0,055

E calculamos o valor da largura b ' da parte de aço equivalente à parte de madeira:

b ' = n b

Substituindo n = 0,055 e a largura original da parte de madeira, b = 200   m m , temos:

b ' = 0,055 200   m m = 11   m m

Dessa forma, a nossa seção transformada, com a linha neutra já no meio (uma vez que essa seção é simétrica em relação à horizontal), fica assim:

Passo 3

Agora, vamos seguir com o cálculo das:

Como vimos no passo 1 e já representamos na figura ao final do passo anterior, já sabemos a posição da linha neutra para essa viga, que é simétrica em relação á horizontal.

Então aqui, só precisamos calcular o momento de inércia da área I para a seção transformada.

Começamos numerando os elementos da seção:

Em seguida, aproveitando a imagem acima, calculamos, para cada elemento, o momento de inércia da área I i , a área A i e a distância d i entre o centro do elemento e a linha neutra.

Para os elemento retangulares 1 e 3 , vamos ter um momento de inércia da área:

I 1 = I 3 = b h a ç o 3 12 = 200 20 3 12 = 133333   m m 4

Uma área:

A 1 = A 3 = b h a ç o = 200 20 = 4000   m m 2

E por fim, tendo em mente:

  • Que o centro do elemento 1 está a uma altura de 20 + 300 + 20 / 2 = 330   m m ;
  • E que o centro do elemento 3 está a uma altura de 20 / 2 = 10   m m ,

...vamos ter distâncias entre os seus centros e a linha neutra de altura y - = 170   m m :

d 1 = 330 - 170 = 160   m m

&

d 3 = 170 - 10 = 160   m m

Já para o elemento retangular central 2 , vamos ter que:

I 2 = b ' h m a d 3 12 = 11 300 3 12 = 24,75 * 10 6   m m 4

E que:

A 2 = b ' h m a d = 11 300 = 3300   m m 2

Além disso, tendo em mente que o centro do elemento 2 está localizado na linha neutra, vamos ter uma distância d 2 em relação à linha neutra:

d 2 = 0

Com isso, podemos agora aplicar a fórmula abaixo, baseada no teorema dos eixos paralelos, para determinar o momento de inércia da área da seção transformada como um todo:

I = ∑ I i + A i d i 2

Realizando esse somatório, temos:

I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

Aí aqui, como os elementos 1 e 3 tem momentos de inércia da área I 1 = I 3 idênticos, áreas A 1 = A 3 idênticas e distâncias d 1 = d 3 idênticas, podemos simplificar essa equação, deixando ela assim:

I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2

Substituindo os valores:

  • I 1 = I 3 = 133333   m m 4 , A 1 = A 3 = 4000   m m 2 e d 1 = d 3 = 160   m m ;
  • & I 2 = 24,75 * 10 6   m m 4 , A 2 = 3300   m m 2 e d 2 = 0 ,

E calculando tudo, encontramos que:

I = 229,82 * 10 6   m m 4

Passo 4

Finalmente, podemos fazer o:

Aqui, podemos observar a geometria da nossa seção:

E perceber que:

  • Os valores máximos positivo e negativo da posição y relativa à linha neutra para as partes de aço (elementos 1 e 3 ) vão ser y = ± 170   m m ;
  • Enquanto que os valores máximos positivo e negativo dessa posição y para a parte de madeira (elemento 2 ) vai ser y = ± 150   m m .

Então, aplicando a fórmula da flexão para o aço, vamos ter:

σ a ç o = - M y I

Substituindo, para o aço:

  • M = 5   k N * m = 5 * 10 6   N * m m ;
  • Os valores máximos positivo e negativo de y = ± 170   m m ;
  • & I = 229,82 * 10 6   m m 4 ,
  • Vamos ter que as tensões máximas no aço vão ser:

    σ a ç o m á x = - 5 * 10 6 ± 170 229,82 * 10 6   N / m m 2

    Calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

    σ a ç o m á x ≅ ∓ 3,70   M P a

    Sendo que o valor negativo (de compressão) ocorre para o topo da seção, onde y = + 170   m m , e o valor positivo (de tração) ocorre para a base da seção, onde y = - 170   m m .

    Em seguida, aplicamos a fórmula da flexão para a madeira, que fica multiplicada pelo fator de transformação n , uma vez que a madeira teve a sua largura transformada:

    σ m a d = - n M y I

    Substituindo:

    • n = 0,055 ;
    • M = 5   k N * m = 5 * 10 6   N * m m ;
    • Os valores máximos positivo e negativo de y para a parte de madeira, y = ± 150   m m ;
    • & I = 229,82 * 10 6   m m 4 ,

    Vamos encontrar as tensões máximas na madeira:

    σ m a d m á x = - ( 0,055 ) 5 * 10 6 ± 150 229,82 * 10 6   N / m m 2

    Calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

    σ m a d m á x ≅ ∓ 0,179   M P a

    Sendo que o valor negativo (de compressão) ocorre para o topo da parte de madeira, onde y = + 150   m m , e o valor positivo (de tração) ocorre para a base da parte de madeira, onde y = - 150   m m .

    Passo 6

    Por fim, o exercício ainda quer que a gente faça um esboço da distribuição de tensões nessa seção transversal, então vamos lá!

    Sabemos:

    • Que a tensão normal de flexão σ sempre varia linearmente com a variação da posição y em uma seção transversal, como mostram as fórmulas σ a ç o = - M y / I e σ m a d = - n M y / I ;
    • Que a tensão na madeira varia de - 0,179   M P a no topo da parte de madeira até + 0,179   M P a na base, passando por uma tensão nula na linha neutra da seção;
    • E que a tensão no aço é de - 3,70   M P a no topo da viga e de + 3,70   M P a na base da viga.

    Assim, para conseguirmos desenhar a distribuição de tensões σ na seção transversal, só falta conhecermos a tensão no aço nos pontos em que ele se encontra com a madeira ( y = ± 150   m m ).

    Aplicando a fórmula da flexão de novo para o aço, temos:

    σ a ç o = - M y I

    Substituindo:

  • M = 5   k N * m = 5 * 10 6   N * m m ;
  • Os valores de y nos pontos em que o aço se encontra com a madeira, y = ± 150   m m ;
  • & I = 229,82 * 10 6   m m 4 ,

Vamos ter que as tensões no aço nesses pontos de encontro com a madeira vão ser:

σ a ç o = - 5 * 10 6 ± 150 229,82 * 10 6   N / m m 2

O que dá:

σ a ç o ≅ ∓ 3,26   M P a

Sendo que o valor negativo (de compressão) ocorre no ponto de encontro da tira superior com a madeira, onde y = + 150   m m , e o valor positivo (de tração) ocorre no encontro da tira inferior com a madeira, onde y = - 150   m m .

Dessa forma, o nosso rascunho da distribuição de tensões na seção transversal dessa viga fica assim:

Normalmente, é necessário definir eixos σ e y nesses rascunhos.

Definindo um eixo y iniciando na base da viga, o rascunho fica assim:

E pronto, traçamos o rascunho pedido pelo exercício!

Na hora de definir a resposta final do exercício, podemos indicar somente os valores absolutos das tensões máximas no aço e na madeira, e assim terminamos nosso exercício:

Resposta

σ a ç o m á x = 3,70   M P a

σ m a d m á x = 0,179   M P a

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