Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

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Enunciado

uma peça de madeira foi reforçada com uma barra de ferro como mostras a figura. Usando seus conhecimentos sobre vigas compostas e sabendo que o modulo de elasticidade da madeira é dado por E M a d = 11   G p a e E a ç o = 200 G p a determine a tensão na extremidade do aço e na interface aço madeira. O momento fletor que age sobe essa peça é de 15KN.m. observe os eixos usados.

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão, temos que ter na mente duas situações muito importante. A primeira é saber que algum dos materiais terá que ser transformado em um equivalente do outro. E que para fazer essa equivalência precisamos calcular o valor de n e b’.

Executado esses dois primeiros passos, todo o resto se torna mais fácil pois usamos as fórmulas de flexão que já conhecemos.

Então vamos lá, sabemos que o cálculo de n depende dos materiais que serão transformados e dos módulos de elasticidade.

A fórmula é

n = E t r a n s f o r m a d a   E i n t a c t a

Por conveniência eu sempre escolho transformar o material de módulo de elasticidade menor, nesse caso a madeira, dessa forma o nosso valor de n será

n = 11 200 = 0,055

Para determinar b’ é simples, é só multiplicar a largura do material que iremos transformar pelo valor de n que determinamos antes, então

b ' = n b

b ' = 0,055   .   110 = 6,05 c m

Agora temos um perfil T para resolvermos

Passo 2

Agora que já sabemos como é nossa seção equivalente, devemos saber algumas coisas sobre como iremos calcular as nossas tensões normais

Primeiro temos que saber que a fórmula entre as tensões na parte intacta e na parte transformada são calculadas por fórmulas diferentes, e as fórmulas são

σ i n t a c t a = - M . Y I

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

Ou seja, na parte transformada consideramos para o cálculo da tensão o valor de n.

Outro ponto importante é se atentar para o valor de Y quando for calcular tanto a seção intacta quanto a transformada. Agora que já sabemos isso vamos ao cálculo.

Passo 3

Sabemos que o valor do momento é facilmente adquirido, além do mais ele já foi dado no enunciado

M = 15 K N . m

Com relação ao valor de Y teremos que descobrir a posição da linha neutra, para isso teremos que fazer o nosso passo a passo

Primeiro determinamos a origem do nosso sistema

Em seguida descobrimos quanto vale a área e a distância do centroide de cada elemento até a nossa origem.

Dessa forma descobrimos facilmente que

A 1 = 1,1   .   0,1 = 0,11   m 2

A 2 = 2,2   .   0,0605 = 0,1331   m 2

y 1 = 2,25   m

y 2 = 1,1   m

Y = ∑ Y i A i ∑ A i = ( 0,11   .     2,25 + 0,1331   .   1,1 ) 0,11 + 0,1331 ≅ 1,62 m = 162   c m

Definimos assim a nossa linha neutra

Com relação ao valor de Y teremos que

Para o trecho acima da linha neutra

Y a ç o / e x t r e m i d a d e = 68 c m = - 68   .   10 - 2 m

Y m a d e i r a / a ç o = 58 c m = - 58   .   10 - 2 m

Lembrando que o negativo existe pelo fato de arbitrarmos y negativo pra cima

Para o trecho abaixo da linha neutra

Y m a d e i r a / e x t r e m i d a d e = 162 c m = 162   .   10 - 2 m

Também já calculamos no primeiro passo o valor de n, logo

n = 0,055

Agora só falta o momento de inércia

Passo 4

Para o cálculo do momento de inércia teremos que usar de novo o nosso passo a passo. Sabemos que para calcularmos momentos de inercia precisamos determinar 3 coisas. As áreas de cada elemento, a distância do centroide de cada elemento até a linha neutra e por fim o momento de inercia de cada elemento. Como os elementos são retangulares, teremos que o momento de inercia deles é

I i = B H 3 12

A figura abaixo representa as distâncias dos centroides de cada elemento até a linha neutra

E nessa imagem temos as medidas para calcularmos os momentos de inercia

Calculando o momento de inercia de cada elemento teremos que

I 1 = 1,1   .   0,1 3 12 = 9,16   .   10 - 5 m

I 2 = 0,0605   .   2,2 3 12 = 0,054 m

E no passo anterior já tínhamos determinado o valor das áreas

A 1 = 1,1   .   0,1 = 0,11   m 2

A 2 = 2,2   .   0,0605 = 0,1331   m 2

Agora que já temos todos os valores, bata calcularmos o momento de inercia para a fórmula

I = ∑ ( I i + A i   .     d i 2 )

I = 9,16   .   10 - 5 + 0,11   .   0,63 2 + 0,054 + 0,1331   .   0,52 2 = 0,1337 m 4

Passo 5

Agora que já temos todos os valores basta calcularmos as tensões

Para o caso intacto, temos o ponto extremo do aço e o ponto interface aço madeira, então calcularemos duas tensões.

σ i n t a c t a = - M . Y I

Caso extremidade do aço

M = 15 K N . m

Y a ç o / e x t r e m i d a d e = 68 c m = - 68   .   10 - 2 m

I = 0,1337 m 4

σ i n t a c t a = - 15   . - 68   .   10 - 2 0,1337 = 76,29   K N m 2 = 76,29   K p a

Caso interface aço-madeira

M = 15 K N . m

Y m a d e i r a / a ç o = 58 c m = - 58   .   10 - 2 m

I = 0,1337 m 4

σ i n t a c t a = - 15   . - 58   .   10 - 2 0,1337 = 65,07   K N m 2 = 65,07   K p a

Passo 6

Caso interface madeira aço (caso transformado)

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

M = 15 K N . m

Y m a d e i r a / a ç o = 58 c m = - 58   .   10 - 2 m

I = 0,1337 m 4

n = 0,055

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0,055 . 15 . - 58   .   10 - 2 0,1337 = 3,58   K N m 2 = 2,58   K p a

Caso madeira extremo

M = 15 K N . m

Y m a d e i r a / e x t r e m i d a d e = 162 c m = 162   .   10 - 2 m

I = 0,1337 m 4

n = 0,055

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0,055 . 15 . 162   .   10 - 2 0,1337 = - 10   K N m 2 = - 10   K p a

Resposta

extremidade do aço

σ i n t a c t a = 76,29   K p a

interface aço-madeira

σ i n t a c t a = 65,07   K p a

Caso interface madeira aço (caso transformado)

σ t r a n s f r o m a d a   = 2,58     K p a

Caso madeira extremidade

σ t r a n s f r o m a d a   = - 10   K p a

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