Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

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Enunciado

Um tubo de aço é responsável por fazer o transporte de petróleo e outros matérias líquidos em uma determinada região. Para reforça-lo foram usadas barras de alumínio como as mostradas na figura. Sabendo que essa seção foi submetida a um esforço fletor de módulo M = 250   K N . m ,determine o valor da tensão máxima normal que ocorrerá na viga composta.

u s e   e s p e s s u r a   d a s   p a r e d e s   c o m o   7,5   c m

E a ç o = 200   G p a

E a l u m = 70   G p a

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão, temos que ter na mente duas situações muito importante. A primeira é saber que algum dos materiais terá que ser transformado em um equivalente do outro. E que para fazer essa equivalência precisamos calcular o valor de n e b’.

Executado esses dois primeiros passos, todo o resto se torna mais fácil pois usamos as fórmulas de flexão que já conhecemos.

Então vamos lá, sabemos que o cálculo de n depende dos materiais que serão transformados e dos módulos de elasticidade.

A fórmula é

n = E t r a n s f o r m a d a   E i n t a c t a

Por conveniência eu sempre escolho transformar o material de módulo de elasticidade menor, nesse caso o alumínio, dessa forma o nosso valor de n será

n = 70 200 = 0 , 35

Para determinar b’ é simples, é só multiplicar a largura do material que iremos transformar pelo valor de n que determinamos antes, então

b ' = n b

b ' = 0 , 35   .   200 = 70   c m

Agora temos um perfil retangular para resolvermos

Passo 2

Agora que já sabemos como é nossa seção equivalente, devemos saber algumas coisas sobre como iremos calcular as nossas tensões normais

Primeiro temos que saber que a fórmula entre as tensões na parte intacta e na parte transformada são calculadas por fórmulas diferentes, e as fórmulas são

σ i n t a c t a = - M . Y I

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

Ou seja, na parte transformada consideramos para o cálculo da tensão o valor de n.

Outro ponto importante é se atentar para o valor de Y quando for calcular tanto a seção intacta quanto a transformada. Agora que já sabemos isso vamos ao cálculo.

Passo 3

Sabemos que o valor do momento é facilmente adquirido, além do mais ele já foi dado no enunciado

M = 250   K N . m

Com relação ao valor de Y teremos que descobrir a posição da linha neutra, como a nossa seção é simétrica, sabemos que a linha neutra passa no centro da seção

Com relação ao valor de Y teremos que

Para o trecho acima da linha neutra

Y a l u m í n i o / e x t r e m i d a d e = 30 + 20 c m = 50 c m = - 50   .   10 - 2 m

Y a l u m i n i o / a ç o = 60 2 c m = 30 c m = - 30   .   10 - 2 m

Lembrando que o negativo existe pelo fato de arbitrarmos y negativo pra cima

Para o trecho abaixo da linha neutra, pela simetria, temos os mesmos valores de cima.

Também já calculamos no primeiro passo o valor de n, logo

n = 0 , 35

Agora só falta o momento de inércia

Passo 4

Para o cálculo do momento de inercia precisamos fazer uma diferença entre a seção cheia e a seção vazada para podermos calcular o momento de inercia da nossa peça, com isso teremos que

Calculando I 1

Por ser uma seção retangular teremos que

I 1 = B H 3 12 = 0,70   .   0,20 + 0,60 + 0,20 3 12 = 0,060   m 4

Calculando I 2

Por ser uma seção retangular teremos que

I 2 = B H 3 12 = 0 , 55   .   0,45 3 12 = 4,2   .   10 - 3   m 4

Logo o momento de inercia da seção será

I = I 1 - I 2 = 0,060 - 4,2   .   10 - 3 = 0,0558   m 4

Passo 5

Agora que já temos todos os valores basta calcularmos as tensões

Para o caso intacto, temos o ponto extremo do aço e o ponto interface aço alumínio, então calcularemos duas tensões.

σ i n t a c t a = - M . Y I

Caso extremidade do aço-alumínio

M = 250   K N . m

Y a l u m í n i o / e x t r e m i d a d e = 30 c m = - 3 0   .   10 - 2 m

I = 0,0558   m 4

σ i n t a c t a = - 250   . - 3 0   .   10 - 2 0,0558 = 1344,1   K N m 2 = 1,3   M p a

Passo 6

Caso interface alumínio- aço (caso transformado)

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

M = 250   K N . m

Y a l u m í n i o / a ç o = 30 c m = - 30   .   10 - 2 m

I = 0,0558   m 4

n = 0 , 35

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0 , 35 . 250 . - 30   .   10 - 2 0,0558 = 470,4   K N m 2 = 0,47   M p a

Caso alumínio extremidade

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

M = 250   K N . m

Y a l u m í n i o / e x t r e m i d a d e = 30 + 20 c m = 50 c m = - 5 0   .   10 - 2 m

I = 0,0558   m 4

n = 0,35

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0,35 . 250 . - 5 0   .   10 - 2 0,0558 = 784,1   K N m 2 = 0 , 784   M p a

Olhando o gráfico teremos que o valor máximo ocorre nas interface aço-alumínio no lado da peça intacta, logo teremos que

σ m á x = 1 , 30   M p a

Resposta

σ m á x = 1,30   M p a

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