Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Assinale a área do triângulo definido pelos pontos 2,2 , 3,1 e 5,3 :

( a ) 2

( b ) 1 2

( c ) 3

( d ) 3 2

Passo 1

Opa, temos um triângulo deslocado! O primeiro passo é escolhermos um ponto para ser nossa “origem”. Vamos usar o 2,2 . Temos então que:

u ¯ = 3,1 - 2,2 = 1 , - 1

v ¯ = 5,3 - 2,2 = 3,1

Se jogarmos agora esses vetores nas colunas de uma matriz e calcularmos o determinante teremos a área do paralelogramo formado por eles:

1 3 - 1 1 = 1 + 3 = 4

Agora para acharmos a área do triângulo é só dividirmos por dois a área do paralelogramo:

A = 4 2 = 2

Resposta

Letra ( a )

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.