Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Sejam os pontos O 0 ,   0 ,   0 , A 1 ,   0 ,   0 , B 2 ,   3 ,   0 e C 0 ,   0 ,   2 .

  1. Ache a equação do plano A B C e prove que o ponto O não pertence a esse plano.
  2. Calcule o volume do tetraedro O A B C .
  3. Ache o simétrico do ponto O em relação ao plano A B C .
  4. Ache o (cosseno do) ângulo entre as arestas C A   e C B .

Passo 1

Belezoca galerinha, em (i) queremos o plano A B C , e pra gente encontrar ele, usamos a equação do vetor normal de um plano n → , dada por:

n → = A B → × A C →

Ou seja, o vetor normal n → é igual ao produto interno entre os segmentos A B → e A C → , logo temos que:

A B → = B - A = 2 ,   3 ,   0 - 1 ,   0 ,   0 = 1 ,   3 ,   0

A C → = C - A = 0 ,   0 ,   2 - 1 ,   0 ,   0 = - 1 ,   0 ,   2

Portanto, o produto vetorial entre esses segmentos é dado por:

n → = î j k 1 3 0 - 1 0 2

Resolvendo, obtemos o nosso vetor normal:

n → = 6 î - 2 j + 3 k

n → = 6 ,   - 2 ,   3

Passo 2

Show de bolinhas galera, a equação geral do plano é dada por:

π A B C :     a x + b y + c z + d = 0

E se nosso vetor normal é n → = 6 ,   - 2 ,   3 , quer dizer que:

n → = a ,   b ,   c

a ,   b ,   c = 6 ,   - 2 ,   3

E nosso plano pode ser reescrito como:

π A B C :     6 x - 2 y + 3 z + d = 0

Não sabemos o valor de d , MAAASSSS sabemos que como o plano é formado pelos pontos A B C , quer dizer que todos esses pontos pertencem ao plano A ,   B ,   C ∈ π A B C . Então se a gente substituir algum deles na equação do plano, o resultado tem ser coerente, saca só, se a gente substituir o ponto A = 1 ,   0 ,   0 = x ,   y ,   z teremos que:

6 x - 2 y + 3 z + d = 0

6 1 - 2 0 + 3 0 + d = 0

6 + d = 0

d = - 6

Iradoso, então quer dizer que a equação do nosso plano é dada por:

π A B C :     6 x - 2 y + 3 z - 6 = 0

E pra verificar que o ponto O não pertence ao plano, é só a gene substituir ele:

6 0 - 2 0 + 3 0 - 6 = 0

- 6 = 0

ABSURSO!! Como sabemos que - 6 ≠ 0 , quer dizer que o ponto O não pertence ao plano.

Passo 3

Já no item (ii), queremos determinar o volume do tetraedro O A B C e pra isso podemos usar a fórmula:

V O A B C = 1 6 det ⁡ ↑ ↑ ↑ A B → A C → A O → ↓ ↓ ↓

Isto é, o volume do tetraedro é igual a um sexto do módulo do determinante da matriz formada pelas arestas do tetraedro nas colunas. Dessa forma temos que:

A O → = O - A = 0 ,   0 ,   0 - 1 ,   0 ,   0 = - 1 ,   0 ,   0

A B → = 1 ,   3 ,   0

A C → = - 1 ,   0 ,   2

Logo:

det ⁡ ↑ ↑ ↑ A B → A C → A O → ↓ ↓ ↓ = det ⁡ 1 - 1 - 1 3 0 0 0 2 0

det ⁡ 1 - 1 - 1 3 0 0 0 2 0 = 0 + 0 - 6 - 0 + 0 + 0 = - 6

Portanto o volume será:

V O A B C = 1 6 det ⁡ ↑ ↑ ↑ A B → A C → A O → ↓ ↓ ↓ = 1 6 - 6

V O A B C = 1

Passo 4

Belezoca, agora no item (iii) queremos encontrar o simétrico de O , dado por O ' = x 0 ,   y 0 ,   z 0 . Como eles são simétricos, podemos escrever como:

O O ' → = λ n →

Portanto, segue que:

O O ' → = O ' - O = x 0 ,   y 0 ,   z 0 - 0 ,   0 ,   0 = x 0 ,   y 0 ,   z 0

λ n → = λ 6 ,   - 2 ,   3

Logo:

x 0 ,   y 0 ,   z 0 = λ 6 ,   - 2 ,   3

MAAASSS a malandragem aqui é que se os pontos O e O ' são simétricos, quer dizer que a distancias deles até o plano é exatamente a mesma, tal que o ponto médio de O O ' → coincide exatamente sobre o plano!!! E esse ponto médio O m é dado pela média aritmética do segmento:

O m = 1 2 x 0 ,   y 0 ,   z 0

O m = 1 2 λ 6 ,   - 2 ,   3

O m = λ 3 ,   - 1 , 3 2

E se esse ponto pertence ao plano, quer dizer que ele obedece a equação π A B C :     6 x - 2 y + 3 z - 6 = 0 , tal que:

6 3 λ - 2 - λ + 3 3 2 λ - 6 = 0

18 λ + 2 λ + 9 2 λ - 6 = 0

36 λ + 4 λ + 9 λ = 12

λ = 12 49

Portanto, temos que:

O ' = λ n →

O ' = 12 49 6 ,   - 2 ,   3

O ' = 72 49 ,   - 24 49 , 36 49

Passo 5

E por fim no item (iv), queremos encontrar o cosseno do ângulo entre as arestas C A → e C B → . E equação do cosseno de um ângulo entre vetores é dada por:

cos ⁡ θ = C A → ,   C B → C A → C B →

Belejóia, dito isso, temos que:

C A → = A - C = 1 ,   0 ,   0 - 0 ,   0 ,   2 = 1 ,   0 ,   - 2

C B → = B - C = 2 ,   3 ,   0 - 0 ,   0 ,   2 = 2 ,   3 ,   - 2

Logo nossa equação fica assim:

cos ⁡ θ = 1 ,   0 ,   - 2 ,   2 ,   3 ,   - 2 1 ,   0 ,   - 2 2 ,   3 ,   - 2

Resolvendo os produtos internos e calculando os módulos, temos que:

1 ,   0 ,   - 2 ,   2 ,   3 ,   - 2 = 1 2 + 0 3 - 2 - 2 = 6

1 ,   0 ,   - 2 = 1 2 + 0 2 + - 2 2 = 5

2 ,   3 ,   - 2 = 2 2 + 3 2 + - 2 2 = 17

Portanto o cosseno do ângulo é dado como:

cos ⁡ θ = 6 5 17

cos ⁡ θ = 6 85

E racionalizando, obtemos que:

cos ⁡ θ = 6 85 85

Resposta

  1. π A B C :     6 x - 2 y + 3 z - 6 = 0
  2. V O A B C = 1 .
  3. O ' = 72 49 ,   - 24 49 , 36 49
  4. cos ⁡ θ = 6 85 85

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.