Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Sabendo que, em E 3 , os pontos A , B , C , D são os vértices de um tetraedro de volume 36 e que os pontos M e N são tais que 3 B M → = B D → e 4 D N → = D C → ,   pode-se concluir que o volume do tetraedro de vértices A ,   B ,   M ,   N é igual a:

a) 12

b) 3

c) 4

d) 2

e) 6

Passo 1

Ooi gente, como vocês estão?

Esse exercício nos pede para calcular o volume de um tetraedro formado pelos vértices A , B , M , N . Mas, o enunciado também nos fala que o volume do tetraedro formado pelos vértices A , B , C , D vale 36 . E, que:

3 B M → = B D → 4 D N → = D C →

Para responder essa questão, devemos lembrar que o volume de um tetraedro é dado por 1 / 6 do produto misto dos vetores que partem de um mesmo vértice.

Assim, para o tetraedro formado pelos vértices A , B , C , D vale que:

A D → ,   B D → ,   D C → 6 = 36

Perfeito! Vamos usar essa informação para descobrir o volume do tetraedro com vértices em A , B , M , N .

Passo 2

Usando o raciocínio do produto misto, temos que o volume do tetraedro formado pelos vértices A , B , M , N vale:

A B → ,   A M → ,   A N → 6

Para que as relações:

3 B M → = B D → 4 D N → = D C →

apareçam no nosso produto misto, podemos usar alguns truquezinhos haha.

Por exemplo, podemos escrever que:

A M = A B + B M

E:

A N = A D + D N

Substituindo as nossas relações, vem:

A M = A B + B D 3

A N = A D + D C 4

Substituindo no produto misto que dá o volume do tetraedro, vem:

A B → ,   A M → ,   A N → 6 =   A B → ,   A B → + B D 3 → ,   A D → + D C → 4 6

Muito bom!

Passo 3

Agora podemos usar a seguinte propriedade do produto misto pra melhorar a nossa expressão:

u → ,   v → + w → ,   z → =   u → ,   v → ,   z → + u → ,   w ��� ,   z →

Assim:

A B → ,   A B → + B D 3 → ,   A D → + D C → 4 =   A B → ,   A B → ,   A D → + D C → 4 + A B → ,   B D 3 → ,   A D → + D C → 4

Mas, o produto misto envolvendo um mesmo vetor é nulo. Assim:

A B → ,   A B → ,   A D → + D C → 4 = 0  

Aplicando novamente a nossa propriedade no termo que restou, temos:

A B → ,   B D 3 → ,   A D → + D C → 4 =   A B → ,   B D 3 → ,   A D → + A B → ,   B D 3 → ,   D C → 4

Logo:

A B → ,   A B → + B D 3 → ,   A D → + D C → 4 = A B → ,   B D 3 → ,   A D → + A B → ,   B D 3 → ,   D C → 4

Colocando os escalares pra fora, vem:

A B → ,   A B → + B D 3 → ,   A D → + D C → 4 = 1 3 ⋅ A B → ,   B D → ,   A D → + 1 3 ⋅ 1 4 A B → ,   B D → , D C →  

Essa expressão já tá melhorando bastante, mas ainda podemos manipular um pouco esse primeiro termo usando que:

B D = A D - A B

Assim:

A B → ,   B D → ,   A D → =   A B → ,   A D → - A B → ,   A D →

= A B → ,   A D → ,   A D → - A B → ,   A B → ,   A D →  

Ambos produtos mistos são nulos por envolverem o mesmo vetor. Logo:

A B → ,   B D → ,   A D → = 0

Sendo assim, temos que:

A B → ,   A B → + B D 3 → ,   A D → + D C → 4 = 1 3 ⋅ 1 4 A B → ,   B D → , D C →  

Pra que a gente possa usar o resultado dado do volume do tetraedro maior, precisamos mexer nesse A B . Usando que:

A B = A D - B D

Logo:

1 3 ⋅ 1 4 A B → ,   B D → , D C →   =   1 3 ⋅ 1 4 A D → - B D → ,   B D → , D C →  

Se separarmos, o termo com B D → será nulo. Logo:

1 3 ⋅ 1 4 A D → - B D → ,   B D → , D C →   =   1 3 ⋅ 1 4 A D → ,   B D → , D C →  

Portanto:

A B → ,   A B → + B D 3 → ,   A D → + D C → 4 = 1 3 ⋅ 1 4 A D → ,   B D → , D C →    

Muito bom!

Passo 4

Pra finalizar, podemos usar o resultado do volume do outro tetraedro dado no enunciado.

A D → ,   B D → ,   D C → 6 = 36

Assim;

A D → ,   B D �� ,   D C → = 36 ⋅ 6

Logo:

1 3 ⋅ 1 4 A D → ,   B D → , D C →   = 36 ⋅ 6 12

= 18

Portanto:

A B → ,   A M → ,   A N → 6 = 1 3 ⋅ 1 4 A D → ,   B D → , D C →   6

= 18 6

= 3

Ou seja, o volume do tetraedro com vértices A , B , M , N é 3 .

O que nos dá a letra b).

É isso gente, muito obrigado pela atenção.

Até a próxima 😊

Resposta

Letra b).

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.