Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Considere o paralelepípedo em R 3 abaixo:

Onde A = 2,1 , 3 ,   B = 1,1 , 1 ,   C = ( 2,3 , - 1 ) e F = - 3,0 , 3 . O volume deste paralelepípedo é:

(a) 15

(b) 16

(c) 17

(d) 18

Passo 1

Se temos 3 vetores u , v   e w no espaço gerando um paralelepípedo, então o volume do paralelepípedo é dado por:

V = ↑ ↑ ↑ u v w ↓ ↓ ↓

Vamos escolher os vetores:

u = B A → = A - B = 1,0 , 2

v = B F → = F - B = - 4 , - 1,2

w = B C → = C - B = 1,2 , - 2

Note que, para que eles gerem o paralelepípedo, todos estão com a origem no ponto B!

Passo 2

Então o volume do paralelepípedo gerado pelos 3 vetores vai ser:

V = 1 - 4 1 0 - 1 2 2 2 - 2

V = 2 - 16 + 2 - 4

V = 16

Resposta

(b) 16

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.