Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Determine o volume do paralelepípedo:

a   6

b   4

c   9

d   8

Passo 1

Determinar o volume do paralelepípedo é o mesmo que calcular o módulo do determinante da matriz cujas colunas são os vetores que se encontram num vértice qualquer.

Escolhendo o vértice B , por exemplo. O vértice B está ligado aos vértices A , C e F .

Calculando os vetores nas arestas, fica assim:

B A → = A → - B → = 2,2 , 2 - 4,4 , 2 = ( - 2 ,   - 2 ,   0 )

B C → = C → - B → = 7 ,   9 ,   4 - 4 ,   4 ,   2 = ( 3 ,   5 ,   2 )

B F → = F → - B → = 8 ,   8 ,   4 - 4 ,   4 ,   2 = ( 4 ,   4 ,   2 )

Então o volume do paralelepípedo é dado por:

V = det ⁡ - 2 3 4 - 2 5 4 0 2 2

Passo 2

Usando a regra de Sarrus, temos:

- 2 3 4 - 2 5 4 0 2 2 = - 20 + 0 - 16 - 0 + 12 + 16 = - 8

Então:

V = - 8 = 8

Resposta

Letra ( d )

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.