Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Calcule o volume do paralelepípedo abaixo, cujos vértices são:

A = 2,3 , 4 ,   B = 0,8 , 7 ,   C = - 1,5 , 9 ,   D = 2 , - 1,10 ,  

E = - 3,10,12 ,   F = 0,4 , 13 ,   G = - 1,1 , 15 ,   H = - 3,6 , 18 .

Passo 1

Primeiro vamos escolher um vértice para usar como origem. Tomando o G como origem temos:

G H → = H → - G → = - 3,6 , 18 - - 1,1 , 15 = ( - 2 ,   5 ,   3 )

G D → = D → - G → = 2 , - 1,10 - - 1,1 , 15 = ( 3 ,   - 2 ,   - 5 )

G C → = C → - G → = - 1,5 , 9 - - 1,1 , 15 = ( 0 ,   4 ,   - 6 )

Então o volume do paralelepípedo é dado por:

V = det ⁡ - 2 3 0 5 - 2 4 3 - 5 - 6

Passo 2

Usando a regra de Sarrus, temos:

- 2 3 0 5 - 2 4 3 - 5 - 6 = - 2 4 + 36 + 0 - 0 + 90 - 40 = 62

Então:

V = 62 = 62

Resposta

V = 62

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.