Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

À questão “Calcule a matriz em coordenadas homogêneas R ' da rotação em R 2 de π 2 no sentido trigonométrico em torno do ponto ( 1,0 ) .”, Breninho respondeu:

Sabemos que a imagem do centro de rotação 1,0 é ( 1,0 ) , mas ao aplicarmos a matriz R ' no ponto de coordenadas homogêneas ( 1 , 0,1 ) obtemos ( - 1,2 , 1 ) . Assim, podemos afirmar que Breninho errou.

a   Aponte e explique o erro de Breninho.

b   Dê uma explicação geométrica do por que det ⁡ R = 1 .

Passo 1

Letra ( a )

Como Breninho estava tentando rotacionar algo fora da origem é um caso de coordenadas homogêneas. Assim, para fazer isso teria que rotacionar primeiro o ponto desejado para a origem, e sabendo que ordem é da direita para a esquerda, pois ao posicionarmos o vetor a sofrer todas essas operações o posicionamos do lado direito:

T ' ⋅ R ⋅ T ⋅ x y 1

E como a ordem das matrizes importa, já que são elas que fazem as operações desejadas, a ordem é essencial. Portanto, o que Breninho fez foi primeiro transladar o ponto que já estava fora da origem por ( + 1 , + 0 ) , ou seja mais uma unidade no eixo x e mais zero unidades do eixo y , sendo que na verdade deveria ter feito ( - , 1 , - 0 ) . Assim, podemos dizer que Breninho trocou a ordem das matrizes T e T ' .

Outra justificativa, seria Breninho ter esquecido de “trazer” de novo o ponto rotacionado para o R 2 , esquecendo assim de multiplica pela matriz de ajuste:

C = 1 0 0 0 1 0

Uma vez que para usar coordenadas homogêneas temos que levar o ponto para o R 3 .

Passo 2

-

Letra ( b )

Podemos encarar o d e t ⁡ ( R ) como o módulo do produto vetorial de dois vetores. E como o produto vetorial nada mais é do que um determinante, assim ele seria a área do paralelogramo formado por dois vetores que dá 1 .

Também podemos justificar que a rotação preserva a área, pois det ⁡ R = 1 a razão entre a área inicial e a final é 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.