Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Enunciado

Sejam os vértices de um triangulo 1,1 ,   2,5 ,   ( 3,1 ) . Calcule a área desse triângulo.

Passo 1

Para fazer isso, precisamos pegar dois vetores que sejam os lados desse triângulo e depois botar esses vetores em colunas numa matriz 2 × 2 e fazer o determinante.

Sendo assim, sejam u , v dois vetores desse triângulo. Vamos tomar a origem como ( 1,1 ) :

u = 2,5 - 1,1 = 1,4

v = 3,1 - 1,1 = ( 2,0 )

Seja

A = 1 2 4 0

Passo 2

Agora basta achar o determinante da matriz:

det ⁡ A = 1 2 4 0 = 0 - 8 = - 8

E como sabemos que a área de um triangulo é:

S = 1 2 | d e t ⁡ ( A ) | = 1 2 . 8 = 4

Resposta

S = 4

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Calcule a área da superfície de um prisma reto cuja base é um paralelogramo A B C D , com A B - = 6 , A C - = 8 , B C - = 10 e três das arestas verticais têm medidas A A ' - = 2 , B B ' - = 5 , C C '
Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 ,
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = 2 , 1 , 6 e os três vértices adjacentes nos pontos B = 4 , 1 , 3 ,C = 1 , 3 , 2eD = 1,2 , 1 .
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = 1,0 , 1 , B = 2,1 , 3 eC = 3,2 , 4 .
Mostre que o argumento usado no texto para calcular a área de um paralelepípedo pode ser empregado para obter a área de um paralelogramo, diretamente, sem usar o resultado da Seção 10.