Agora que já passamos por limites, vamos pras derivadas! E não se preocupe, é bem mais simples que os limites que vimos, em termos de manipulações algébricas.
Quando temos uma função de várias variáveis, temos que derivar em relação a uma das variáveis, daí o nome “parcial”.
Na prática, é só derivar em relação à variável em questão, pensando que as outras variáveis são constantes. Só isso!
Notações de derivada parcial:
Derivada parcial de com relação a : ou ou
Exemplo:
Calculando derivada parcial em relação à (considere constante):
Calculando derivada parcial em relação à (considere constante):
O mesmo se aplica as derivadas de segunda ordem.
Observe que, neste caso, podemos mesclar derivadas em e : são as derivadas mistas.
Notações de derivadas de segunda ordem:
Usando o mesmo exemplo acima, vamos calcular essas derivadas:
Observe que, neste exemplo, podemos notar que:
Foi coincidência? Não! Isso (quase) sempre vai acontecer!
Só não acontece em casos muito particulares: quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.
Lembra quando uma função não é contínua?
Uma função não é contínua em um ponto quando o limite dela não é igual ao valor da função nesse ponto.
Então, na prática, tanto faz derivar primeiro em e depois em ou vice-versa. O resultado vai ser o mesmo.
O mesmo vale para funções de três variáveis: quando derivar em relação a uma variável, considere as outras duas constantes. E a ordem da derivação também não muda o resultado.
Observação: Pode acontecer da função ser definida em um ponto e depois fora dele, como por exemplo
Para calcular a derivada parcial nesse ponto é um pouco mais difícil, não podemos simplesmente derivar , isso não vai dar certo. Temos que usar a definição de derivadas parciais, que nada mais é que um limite. Vamos ver como ele é
Vamos fazer isso no para o nosso exemplo
Então
Repara que a derivada parcial em relação a não deu então atenção quando estiver nesse caso hein.
São três teoremas que você precisa saber:
Observação: os dois primeiros teoremas são necessários para que a função seja diferenciável. A recíproca do terceiro não é verdadeira. Ou seja, uma função pode ser diferenciável, mas não ter derivadas contínuas.
Exemplo:
As derivadas de primeira ordem estão definidas e são contínuas em todo o :
Então, pelo terceiro teorema acima, essa função é diferenciável em todo o .
Já nesse exemplo:
Essa função não é diferenciável em .
Pois a função não é contínua nesse ponto, o que contradiz o primeiro teorema acima!
Note que, ainda que existam derivadas de primeira ordem (segundo teorema), a função não é diferenciável se não for contínua!
Na realidade para testar Diferenciabilidade com toda certeza do mundo temos que achar as derivadas parciais, e depois temos que fazer o seguinte limite
E esse limite precisa ser zero. Não se preocupe parece gigante mas não é.
Vamos voltar para aquele exemplo das derivadas parciais
Já achamos as derivadas parciais no ponto vamos ver agora se aquele limite da zero.
Que limite triste de calcular né? Mas repara que se fizermos vamos ter
Repara que, como temos , temos que separar em dois casos, um quando e um quando . Vão dar coisas diferentes, um vai ter um sinal outro vai ter outro sinal então os limites laterais são diferentes, então esse limite não existe. Logo a função não é diferenciável.
Muito fácil! O vetor gradiente de uma função é simplesmente um vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais dessa função! Simples, não?
Isso vale para funções de 2 e 3 variáveis (ou mais, mas só veremos esses casos aqui).
A notação é a seguinte:
Moleza, certo?
Por exemplo:
Então o vetor gradiente dessa função é dado por
Simples assim! A ideia é a mesma para funções de 3 variáveis!