Teoria

Introdução

Imagine que você queira puxar uma caixa bem pesada pelo chão:

Inicialmente é necessário fazer uma força bem grande para esta caixa se mover, não é mesmo?

Por que temos que fazer tanta força para tirar a caixa da inércia? Isso ocorre porque existe uma força que é contrária ao movimento chamada atrito.

Nesse tópico vamos aprender sobre dois tipos de atrito: o atrito estático e o atrito dinâmico.

Partiu?

Atrito Estático

O atrito estático é aquela força contrária ao movimento que surge antes do corpo entrar em movimento, daí o seu nome ser atrito estático.

Este tipo de atrito pode variar de zero até o máximo valor antes do corpo entrar em movimento, ou seja, quando o corpo está na iminência de se movimentar.

Nas questões de atrito o que precisamos saber é a força máxima ( F a t m á x ) que se pode aplicar antes do corpo entrar em movimento e para isso vamos usar esta fórmula aqui:

F a t m á x = μ s N

Onde:

  • μ s é o coeficiente de atrito estático e isso geralmente é dado no enunciado;
  • N é a força normal, ou seja, aquela força que surge sempre que há contato do corpo com a superfície de apoio.

Atrito Dinâmico

O atrito dinâmico ( F a t d i n ) é aquele atrito que surge após o corpo entrar em movimento, daí o seu nome ser atrito dinâmico.

Para calcular o seu valor, que agora vai ser constante, vamos utilizar esta fórmula aqui:

F a t d i n = μ k N

Onde:

  • μ k é o coeficiente de atrito dinâmico e geralmente é dado no enunciado;
  • N é a força normal devido ao contato do corpo com a sua superfície de apoio.

Atrito Estático versus Atrito Dinâmico

Já reparou que é preciso muito mais força para colocar um corpo em movimento do que para manter o seu movimento? Isso ocorre porque a força de atrito dinâmico é menor do que a força de atrito estático.

Podemos visualizar isto neste gráfico:

No eixo horizontal temos uma força F que é aplicada no corpo e no eixo vertical temos a força de atrito F a t que surge como consequência disso.

Ao aumentarmos a força F aplicada, aumentamos a força de atrito até que ela atinge um máximo ( F a t m á x ) depois o atrito diminui até o patamar do atrito dinâmico ( F a t d i n ) e fica constante.

Observação: existe uma breve região de transição entre o atrito estático e o dinâmico, mas nos exercícios você pode desconsiderá-la. Então, se o atrito for maior que o estático, considere-o como atrito dinâmico e pronto.

É estático ou é dinâmico?

Voltando ao nosso bloquinho... E se um problema te der uma força F → e te pedir para calcular o valor da força de atrito?

Vamos dizer que os seguintes dados são mencionados: μ S = 0,5 ,   μ K = 0,4   , m = 100   k g e F → = 400   N .

Quando aplicamos uma força puxando o bloquinho surge uma outra força contrária ao movimento que é a força de atrito F a t :

Neste tipo de problema vamos admitir inicialmente que o atrito é estático, ou seja, o corpo está parado. Então, vamos fazer o equilíbrio de forças:

∑ F x = 0       →         F - F a t = 0

400 - F a t = 0         →             F a t = 400   N

Observação: nós também admitimos um sentido para o atrito. Caso o resultado da etapa acima der negativo, inverta o sentido da força de atrito e tudo certo!

Agora vem o teste: será que a força de atrito está realmente na região estática? Para saber isso você precisa calcular a força de atrito máxima.

Mas antes é necessário saber a força normal N . Podemos fazer isso usando o equilíbrio vertical:

Sabendo que o peso do bloquinho é:

m g = 100 9,81     →           m = 981   N

Então:

∑ F y = 0       →       - m g + N = 0

N = 981   N

Pronto, agora podemos calcular a força de atrito estático máxima:

F a t m á x = μ S N       →         F a t m á x =   0,5 981

F a t m á x = 490,5   N

Opa, nesse caso:

F a t c a l c u l a d a < F a t m á x       já que       400 < 490,5  

Então, realmente o corpo está parado e o atrito estático tem valor igual a:

F a t = 400   N

Show de bola?

Agora vamos aumentar um pouco a força F → para ver o que acontece... Vamos fazer F → = 700   N :

Nesse caso:

De novo vamos partir do princípio que o atrito é estático e que o corpo está parado:

∑ F x = 0       →         F - F a t = 0

7 00 - F a t = 0         →             F a t = 7 00   N

Como o peso do bloquinho não mudou, o seu peso continua o mesmo. Desse modo, a força de atrito estático máxima também não muda:

F a t m á x = 490,5   N

Mas desta vez a força que aplicamos gerou um atrito maior que o atrito estático máximo:

F a t c a l c u l a d a > F a t m á x       já que       700 > 490,5  

Então, o atrito na verdade é dinâmico e não estático como supomos inicialmente.

E como se calcula o atrito dinâmico? É só usarmos a nossa equação:

F a t d i n = μ K N       →           F a t d i n = 0,4 . 981

F a t d i n = 392,4   N

Ou seja, neste último caso que fizemos o atrito é dinâmico, pois o corpo vai estar em movimento e seu valor é:

F a t = F a t d i n = 392,4   N

Sacou?

Vamos fazer uns exercícios pra entendermos melhor!

Atrito Dinâmico

Atrito Estático versus Atrito Dinâmico

É estático ou é dinâmico?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A força P é aplicada ao caixote de 90   k g , que está em repouso antes que ela seja aplicada. Determine o módulo e a direção da força de atrito F exercida pela superfície horizontal sobre o caixote se:

  1. P = 300   N ;
  2. P = 400   N ;
  3. P = 500   N .

Passo 1

Podemos representar o nosso caixote assim:

Repare que ao aplicar a força P surge uma força de atrito F a t contrária à tendência de movimento, ou seja, apontando para o sentido negativo do eixo x .

O módulo da força de atrito é dado por:

F → a t = μ s N

Onde N é o módulo da força normal.

Passo 2

Bom, para que o bloco esteja em equilíbrio, precisamos satisfazer as seguintes condições:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

Então:

∑ F → x = 0 →       →           P - F a t = 0

P = F a t

E na vertical vamos ter que:

∑ F → y = 0 →       →       - W + N = 0

90 9,81 + N = 0

N = 883   N  

Passo 3

Com esse valor da força normal, podemos calcular a força de atrito máxima para que o bloco continue parado:

F → a t = μ s N       →           F → a t = 0,5 ( 883 )

  F → a t = 441,5   N

Sabendo que P = F a t , vamos analisar cada situação:

  • P = 300   N :
  • Neste caso, a força P é menor do que a máxima força de atrito que pode ter para que o bloco continue parado, então o caixote não irá se mover:

    F x = 0

    P - F a t = 0

    F a t = P = 300   N

  • P = 400   N :
  • Neste caso, a força P continua menor do que a máxima força de atrito que pode ter para que o bloco continue parado, então o caixote também não irá se mover:

    F a t = P = 400   N

  • P = 500   N :

Neste caso, a força P ultrapassou a máxima força de atrito que pode ter para que o bloco continue parado, então o caixote deixa de ter uma força de atrito estática e passa a ter uma força de atrito dinâmica, que é dada pela expressão:

F a t = μ k N

F a t = 0,4 883

F a t = 353   N

Resposta

a )   F a t = 300   N

b )   F a t = 400   N

c )   F a t = 353   N

Exercício Resolvido #2

O bloco de 50   k g está em repouso sobre a superfície horizontal e uma força P = 200   N , cuja direção pode ser variada, é aplicada ao bloco.

  1. Calcule o coeficiente de atrito estático μ s , entre o bloco e a superfície, se o bloco começa a deslizar quando θ é reduzido para 30   ° .
  2. Se P é aplicado com θ = 45 ° , calcule a força de atrito F .

Passo 1

Quando aplicamos a força P surge uma força de atrito contrária ao movimento:

O módulo da força de atrito é dado por:

F → a t = μ s N

Onde N é o módulo da força normal.

Passo 2

Bom, para que o bloco esteja em equilíbrio, precisamos satisfazer as seguintes condições:

∑ F → x = 0 →

∑ F → y = 0 →

Temos essas forças atuando no bloco:

Repare que para achar as componentes verticais e horizontais da força P temos que fazer:

Então, fazendo o equilíbrio das forças horizontais vamos ter que:

∑ F → x = 0 →       →         P c o s θ - F a t = 0

P c o s θ - μ s N = 0     →       μ s = P c o s θ N

Show de bola! Já achamos uma relação para achar μ S . Basta a gente calcular o módulo da força normal agora fazendo o equilíbrio de forças verticais:

∑ F → y = 0 →     →       N - P s e n θ - m g = 0

N = P s e n θ + m g

Lembrando que θ = 30 ° , vamos ter que:

N = P s e n θ + m g       →         200 s e n 30 ° + 50 9,81

N = 590,5   N

Agora podemos calcular μ s :

μ s = P c o s θ N       →         μ s = 200 cos ⁡ 30 ° 590,5

μ s = 0,29

Passo 3

Agora temos que calcular a força de atrito para θ = 45 ° . Para isso vamos fazer o equilíbrio horizontal:

∑ F → x = 0 →

P c o s 45 ° - F a t = 0       →       F a t = P c o s 45 °

F a t = 200 c o s 45 °     →       F a t = 141,4 N

Resposta

μ s = 0,29

F a t = 141,4   N

Exercício Resolvido #3

A força P é aplicada ao caixote de 50   k g quando ele está em repouso. Determine o módulo e a direção da força de atrito F exercida pela superfície sobre o caixote se

a )   P = 0

  b )   P = 200 N  

  c )   P = 250 N

d ) Que valor de P é necessário para iniciar o movimento para cima do plano inclinado? Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o caixote e o plano são μ s = 0,25 e μ k = 0,20 , respectivamente.

Passo 1

Nesse caso, como P = 0 , estamos lidando com um problema de plano inclinado onde só temos a força peso ( W ) do bloquinho e a normal que surge do contato entre o bloco e a superfície:

Vamos decompor a força peso no eixo x y :

Nesse caso, as componentes do peso ao longo do plano e perpendicular ao mesmo são:

W x = W s e n θ

W y = W c o s θ

Onde W é o peso do bloquinho e vale:

W = m g       →         W = 50 ( 9,81 )

W = 490,5   N

Passo 2

Quando o bloquinho tende a descer o plano inclinado, surge uma força de atrito contrária ao movimento:

Vamos fazer o equilíbrio das forças que estão no eixo x :

Duas forças agem ao longo do plano: a força de atrito e a componente x do peso. Assim:

∑ F x = 0       →       W x - F a t = 0

F a t = W x = 490,5 s e n 15 °

F a t = 127   N

E ao longo do eixo y ? Nesse caso, existe a força normal e a componente y do peso:

∑ F y = 0       →       N - W y = 0

N = W y = 490,5 cos ⁡ 15 °

N = 473,8   N

E agora? O que temos que fazer? Temos que ver se aquela força de atrito F a t não ultrapassa o atrito estático máximo. Caso ultrapasse, o atrito que estamos lidando é o dinâmico e teremos que recalcular.

Então:

F a t m á x = N μ S           →           F a t m á x = 473,8 0,25

F a t m á x = 118,45   N

Perceba que o atrito que achamos é maior que o atrito máximo:

F a t > F a t m á x       →         127 >   118,45  

Então, o atrito, na verdade, é dinâmico e deve ser calculado pela fórmula do atrito dinâmico:

F a t = F a t d i n = N μ K       →         F a t = 473,8 0,20

F a t = 94,8   N

E a sua direção e sentido? A força de atrito é contrária ao movimento do bloquinho, então ela aponta no sentido da parte negativa do eixo x :

F → a t = - 94,8 i ^   N

Passo 3

Agora vamos considerar a força P = 200   N . Vamos fazer quase a mesma coisa, só que agora vamos incluir nas equações as componentes da força P .

Então vamos decompor esta força no nosso eixo x y :

Então, fazendo o equilíbrio das forças que estão no eixo x , temos:

∑ F x = 0       →       W x - F a t - P c o s   20 ° = 0

F a t = W x - P c o s   20 °

F a t = 490,5 s e n 15 ° - 200 c o s 20 °

F a t = 127,04 - 186   →     F a t = - 61   N

Opa, o atrito deu negativo. Isso quer dizer que assumimos um sentido errado para o atrito. Se você reparar na nossa equação acima, assumimos que ele aponta no sentido contrário ao eixo x . Como o sinal deu negativo, ele aponta no sentido positivo do eixo x :

Então, o vetor da força de atrito fica assim:

F → a t = 61 i ^   N

E agora? Agora a gente tem que ver se o valor da força de atrito que calculamos é maior ou menor que a força de atrito máxima.

Para isso temos que calcular a normal novamente fazendo o equilíbrio das forças que estão no eixo y :

∑ F y = 0       →       N - W y + P s e n 20 ° = 0

N = W cos ⁡ 15 ° - P s e n 20 °       →       N = 473,8   - 200 s e n 20 °

N = 473,8   - 68,4       →           N = 405,4   N

Agora vamos calcular a força de atrito estático máxima:

F a t m á x = N μ S       →         F a t m á x = 405 0,25

F a t m á x = 101,35   N

Perceba que a força de atrito que calculamos é menor que a força de atrito estático máxima!

F a t < F a t m á x       →         61 < 101,35

Então, a nossa premissa de que a força de atrito era menor que a for��a de atrito máxima estava correta e podemos dizer que:

F → a t = 61 i ^   N

Passo 4

Agora vamos considerar a força P = 250   N .

Vamos fazer a mesma coisa que antes, só mudamos o valor da força. Assim:

∑ F x = 0       →       W x - F a t - P c o s   20 ° = 0

F a t = W x - P c o s   20 °

F a t = 490,5 s e n 15 ° - 250 c o s 20 °

    F a t = - 108   N

Se deu negativo, então o sentido que escolhemos para a força de atrito estava errada. Como estávamos assumindo que o atrito apontava para cima, ele na verdade está apontando para baixo:

Então, a força de atrito pode ser escrita assim:

F → a t = 108 i ^   N

Mas precisamos calcular a força de atrito estático máxima novamente, pois o valor da normal vai mudar. Então, vamos fazer o equilíbrio das forças que estão no eixo y :

∑ F y = 0       →       N - W y + P s e n 20 ° = 0

N = W cos ⁡ 15 ° - P s e n 20 °       →       N = 473,8   - 250 s e n 20 °

  N = 388,3   N

Então, a força de atrito estático máxima vai ser:

F a t m á x = N μ S       →         F a t m á x   = 388,3   0,25

F a t m á x = 97,1   N

Perceba que a força de atrito que achamos é maior que a força de atrito estático máxima:

F a t > F a t m á x       →         108 > 97,1

O nosso atrito é, na verdade, dinâmico. Então, precisamos usar a fórmula do atrito dinâmico para calculá-lo:

F a t = F a t d i n = 388,3   0,20 = 77,7   N

Então, o nosso atrito é:

F → a t = 77,7 i ^   N

Passo 5

O valor de P necessário para iniciar o movimento para cima do plano inclinado é tal que a componente de P no eixo x esteja prestes a superar o valor máximo do atrito estático menos a componente do peso do bloco que está no eixo x :

Isso significa que para se iniciar o movimento:

P x ≥ W sin ⁡ 15 ° + F a t m á x

Vamos considerar a situação do “prestes a superar”, igual a:

P x = W sin ⁡ 15 ° + F a t m á x

Neste caso:

P x = W sin ⁡ 15 ° + F a t m á x

P c o s θ = W sin ⁡ 15 ° + N μ s

O θ é ângulo de inclinação da força P que é de 20 ° . Vamos deixar para substituir seu valor lá no final!

Mas o valor de N é estabelecido através da equação de equilíbrio no eixo y :

∑ F y = 0

N + P s e n θ - W cos ⁡ 15 ° = 0

N = W cos ⁡ 15 ° - P s e n θ

Substituindo N na primeira equação que achamos, vamos ter que:

P c o s θ = W sin ⁡ 15 ° + N μ s

P c o s θ = W sin ⁡ 15 ° + W cos ⁡ 15 ° - P s e n θ μ s

P c o s θ + μ s P s e n θ = W sin ⁡ 15 ° + μ s W cos ⁡ 15 °

P c o s θ + μ s s e n θ = W ( sin ⁡ 15 ° + μ s cos ⁡ 15 ° )

P = W sin ⁡ 15 ° + μ s cos ⁡ 15 ° c o s θ + μ s s e n θ

Substituindo os valores, encontramos:

P = 490,5 sin ⁡ 15 ° + 0,25 ∙ cos ⁡ 15 ° c o s 20 ° + 0,25 ∙ s e n 20 °

P = 239   N

Resposta

a )   F → a t = - 94,8 i ^   N

b )   F → a t = 61 i ^   N

c )   F → a t = 77,7 i ^   N

d )   P = 239   N

Exercício Resolvido #4

Determine o módulo e a direção da força de atrito que a parede vertical exerce sobre o bloco de 45   k g se:

  1. θ = 15 °
  2. θ = 30 °

Passo 1

As forças que agem nesse sistema são: a força peso ( W → ), a força de atrito ( F → a t ), a força normal ( N → ) e a força P → :

Perceba que a normal é horizontal, porque ela surge do contato entre o bloco e a parede.

E arbitramos o atrito apontando para cima, quando fizermos o equilíbrio veremos se acertamos ou não dependendo do sinal que encontrarmos para a F a t .

Passo 2

Vamos ao primeiro caso, quando o ângulo θ vale 15 ° . Vamos começar pelo equilíbrio vertical:

∑ F → y = 0 →

Perceba que temos que decompor a força P no eixo x y :

Então, vamos ter que:

∑ F → y = 0 →       →           P s e n 15 ° + F a t - W = 0

F a t = W - P s e n 15 °       →         F a t = 45 9,81 - 500 s e n 15 °

F a t = 3 12   N

Perceba que a F a t deu positiva, isso significa que ela realmente aponta para cima!!!

Nós achamos o módulo da força de atrito....mas será que ela vale isso mesmo?

O que precisamos fazer é verificar se essa força está no atrito estático ou dinâmico.

Para isso, vamos calcular o atrito estático máximo. Se a nossa F a t for menor que o valor máximo, ela estará correta. Se ela for maior, significa que o valor da força entrou no regime dinâmico. Daí teremos que calcular o atrito dinâmico, que é constante.

Para achar o atrito estático máximo, usamos:

F a t m á x = N μ s

Quanto vale a normal? Vamos descobrir isso fazendo o equilíbrio das forças horizontais:

∑ F → x = 0 →       →           N - P c o s 15 ° = 0

N = P c o s 15 °       →           N = 500 c o s 15 °

N = 483   N

Assim, o atrito máximo estático vale:

F a t m á x = N μ s       →         F a t m á x = 483 0,5

F a t m á x = 24 1,5   N

Perceba que o atrito que achamos é maior que o atrito estático máximo:

F a t > F a t m á x

312 > 241,5  

Sendo assim, o atrito é dinâmico. Então, temos que calcular o atrito utilizando a fórmula de atrito dinâmico:

F a t d i n = N u k     →         F a t d i n = 483 0,4

F a t d i n = 193,2   N

Passo 3

Agora faremos a mesma coisa, só que com θ = 30 ° . Então, vamos começar pelo equilíbrio das forças verticais:

∑ F → y = 0 →       →           P s e n 30 ° + F a t - W = 0

F a t = W - P s e n 30 °       →         F a t = 45 9,81 - 500 s e n 30 °

F a t = 191,4   N

Vamos calcular o valor da normal nesta situação fazendo o equilíbrio das forças horizontais:

∑ F → x = 0 →       →           N - P c o s 30 ° = 0

N = P c o s 30 °       →           N = 500 c o s 30 °

N = 433   N

Agora podemos calcular a força de atrito estático máximo:

F a t m á x = N μ s       →           F a t m á x = 433 0,5

F a t m á x = 216 , 5 N

Perceba que o atrito que achamos é menor que o atrito estático máximo:

F a t < F a t m á x

191,4 > 216,5  

Então, a nossa força de atrito está correta:

F a t = 191,4   N

Resposta

a )   F a t = 193,2   N   ( p a r a   c i m a )

b )   F a t = 191,4   N   ( p a r a   c i m a )

Exercício Resolvido #5

A roda mostrada rolará para a esquerda quando o ângulo α do cabo for pequeno. Quando α for grande, a roda rolará para a direita. Determine, por inspeção da geometria do diagrama de corpo livre, o ângulo α para o qual a roda não rolará. Se o coeficiente de atrito estático μ s e a massa da roda é m , determine o valor de P para o qual a roda girará para o valor crítico de α .

Passo 1

Pense o seguinte: quando a roda não gira, o momento resultante é nulo, certo? Vamos pensar no ponto de giração G abaixo, logo onde existe o contato entre a roda e o chão:

Se o momento resultante em relação a esse ponto for nulo, não ocorrerá o giro. E como garantimos isso?

Simples, basta que todas as forças sejam concorrentes nesse ponto, ou seja, que a linha de ação das forças que atuam na roda passe por este ponto. Sabemos que a força normal e o peso passam pelo ponto G , só falta saber a força P :

Precisamos fazer a força P passar pelo ponto de contato entre a roda e o chão, porque assim ela não gera momento com relação a este ponto (já que não vai ter braço de alavanca). Observe que o peso e a força normal passam por esse ponto.

Temos que arranjar um jeito de colocar o ângulo α em função dos nossos dados que são os raios r 1 e r 2 . Para isso, vamos usar esse triângulo retângulo aqui:

Então, podemos dizer que:

s e n   α = r 1 r 2           →         α = s e n - 1 r 1 r 2

Beleza?

Passo 2

Agora vamos utilizar as equações de equilíbrio para fazer achar a normal e a força de atrito. Para isso temos que achar as componentes vertical e horizontal da força P :

Vamos começar fazendo o somatório das forças verticais:

∑ F → y = 0 →         →           N + P c o s   α - m g = 0

N = m g - P c o s   α

E o equilíbrio horizontal fica:

∑ F → x = 0 →         →         P s e n   α - F a t = 0

F a t = P s e n   α

Passo 3

Como queremos saber o ângulo máximo para o qual a roda não irá girar, ela estará na parte do atrito estático. Então, temos que calcular o atrito estático máximo:

F a t = F a t m á x = N u s

Então, a nossa equação do equilíbrio horizontal pode ser escrita assim:

F a t = P s e n   α       →           N u s = P s e n   α

Mas já temos uma expressão para a força normal, lembra?

N = m g - P c o s   α

Vamos substituir ela na equação do equilíbrio horizontal:

N u s =   P s e n   α       →           m g - P c o s   α u s = P s e n   α

Como queremos saber P , vamos isolá-lo na equação:

m g - P c o s   α u s = P s e n   α       →       P s e n   α + μ S P c o s   α = μ S m g

  P s e n   α + μ S cos ⁡ α = μ S m g

P = μ S m g s e n   α + μ S c o s   α

Beleza?

Passo 4

Ainda temos que ajeitar mais a expressão de P ...

Nós sabemos que:

s e n   α = r 1 r 2

Lembra da fórmula fundamental da trigonometria? Ela diz que:

s e n 2 α + c o s 2 α = 1

Então, para saber quanto vale o c o s   α vamos fazer:

s e n 2 α + c o s 2 α = 1       →     cos ⁡ α = 1 - s e n 2 α

cos ⁡ α = 1 - r 1 r 2 2         →         cos ⁡ α = 1 - r 1 2 r 2 2

Podemos ajeitar melhor isso:

cos ⁡ α = 1 - r 1 2 r 2 2         →           cos ⁡ α = r 2 2 - r 1 2 r 2 2

cos ⁡ α = r 2 2 - r 1 2 r 2

Agora é só substituirmos o cos ⁡ α e o s e n   α na nossa equação para achar P :

P = μ S m g s e n   α + μ S c o s   α       →         P = μ S m g r 1 r 2 + μ S r 2 2 - r 1 2 r 2

Agora vamos arrumar essa expressão aí:

P = μ S m g r 1 r 2 + μ S r 2 2 - r 1 2 r 2       →         P = μ S m g r 1 + μ S r 2 2 - r 1 2 r 2

  P = μ S m g r 2 r 1 + μ S r 2 2 - r 1 2

Resposta

α = s e n - 1 r 1 r 2

  P = μ S m g r 2 r 1 + μ S r 2 2 - r 1 2

Exercício Resolvido #6

Dois automóveis, ambos tendo o centro de massa localizado como mostrado, a meia distância entre os eixos traseiro e dianteiro, são idênticos exceto que um tem tração dianteira e o outro tem tração traseira. Os carros são dirigidos à velocidade constante subindo rampas de várias inclinações. De um ponto de vista teórico de projeto, que carro subiria a rampa de maior ângulo de inclinação θ ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O que faz com que o carro suba? É justamente a força de atrito nas rodas!!!

Então, vamos montar nosso diagrama de corpo livre:

Onde N T é a força normal na roda traseira e N F é a normal na roda frontal.

O aumento das forças normais, automaticamente, aumenta as forças de atrito. É só verificar a fórmula de atrito:

F a t = μ N

Com o aumento do ângulo de inclinação, o carro tenderá, aos poucos, a tombar para trás, certo?

Isso fará, pouco a pouco, com que as rodas da frente percam o contato com a superfície, ou seja, aos poucos elas perderão a força normal. Exagerando seria isso uma situação assim:

Isso fará com que o atrito das rodas da frente diminua e até mesmo, na pior das hipóteses, seja nulo, já que:

F a t = μ N

Assim, se a tração estiver colocada nas rodas da frente, o carro perderá, pouco a pouco, a força que o faz andar.

Sendo assim, é melhor que a tração seja colocada nas rodas traseiras, o que fará com que o carro atinja maiores inclinações.

Resposta

T r a ç ã o   t r a s e i r a

Exercício Resolvido #7

Dois homens estão deslizando um caixote de 100   k g para cima no plano inclinado. Se o homem de baixo empurra horizontalmente com uma força de 500   N e se o coeficiente de atrito dinâmico vale 0,40 , determine a força trativa T que o homem de cima deve exercer na corda para manter o movimento do caixote.

Passo 1

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre do caixote:

Repare que a força de 500   N é horizontal, pois foi dito isso no enunciado.

Como o bloco está se movendo, estamos lidando com o atrito dinâmico, o qual pode ser calculado pela seguinte fórmula:

F a t d i n = μ k N

Então, a nossa força de atrito será:

F a t = F a t d i n = μ k N       →           F a t = 0,4 N

Como ainda não sabemos o valor da normal, vamos deixar assim!

Passo 2

Vamos começar fazendo o equilíbrio das forças que estão na direção do eixo x . Para isso, precisamos decompor algumas das forças. Vamos começar pela força peso:

O módulo da força peso vale:

P = m g       →           P = 100 9,81

P = 981   N

Já as componentes da força de 500   N vão ficar assim:

E por fim a força trativa T :

Beleza?

Agora sim podemos fazer o somatório das forças na direção x :

∑ F x = 0

T c o s 15 ° - P s e n 30 ° - F a t + 500 cos ⁡ 30 ° = 0

T c o s 15 ° - 981 s e n 30 ° - 0,4 N + 433 = 0

T c o s 15 ° - 490,5 - 0,4 N + 433 = 0

0,966 T - 0,4 N = 57,5

Vamos guardar esta equação!

Agora vamos fazer o equilíbrio de forças na direção y :

∑ F y = 0

N - 500 s e n 30 ° - P cos ⁡ 30 ° + T s e n 15 ° = 0

N - 250 - 981 cos ⁡ 30 ° + T s e n 15 ° = 0

N - 250 - 850 + T s e n 15 ° = 0

0,259 T + N = 1 100

Passo 3

Agora temos duas equações e duas incógnitas. Vamos resolver o sistema:

0,966 T - 0,4 N = 57 , 5 0,259 T + N = 110 0

Vamos isolar a normal N da segunda equação:

N = 1100 - 0,259 T

E substituir isso na primeira equação:

0,966 T - 0,4 N = 57,5       →       0,966 T - 0,4 ( 1100 - 0,259 T ) = 57,5

0,966 T - 440 + 0,1036 T   = 57,5       →         0,966 T + 0,1036 T = 57,5 + 440

T = 465   N

Agora que sabemos o valor de T , podemos achar quanto vale a normal:

N = 1100 - 0,259 T       →       N = 1100 - 0,259 ( 465 )

N = 979   N

Resposta

T = 465   N

Exercício Resolvido #8

Um bloco de massa m 0 é colocado entre a parede vertical e o pequeno rolete ideal da extremidade superior, A , da barra esbelta uniforme de massa m . A extremidade inferior, B , da barra repousa sobre a superfície horizontal. Se o coeficiente de atrito estático em B e também entre o bloco e a parede vale μ s , determine a expressão geral para o valor mínimo , θ m í n , de θ para o qual o bloco permanecerá em equilíbrio. Avalie sua expressão para μ s = 0,50   e m / m 0 = 10 . Para essas condições, verifique a possibilidade de haver deslizamento em B .

Passo 1

Nosso primeiro passo é montar o diagrama de corpo livre:

Passo 2

Vamos analisar primeiro o nosso bloco:

Perceba que só existe atrito no lado esquerdo do bloco, ou seja, atrito entre o bloco e a parede. Isso acontece porque no lado direito tem um rolete ideal, ou seja, sem atrito.

Como estamos lidando com uma situação extrema, devemos calcular o atrito como sendo o máximo. Então, o atrito entre o bloquinho e a parede será:

F a t A = μ S N A

Vamos achar a normal no ponto A fazendo o equilíbrio das forças verticais que atuam somente no bloquinho:

∑ F y = 0       →         F a t A - P 1 = 0

F a t A = m 0 g       →         μ S N A = m 0 g

N A = m 0 g μ S

Passo 3

Agora vamos analisar a barra...

Onde F a t B é força de atrito em B .

Vamos agora calcular, através do equilíbrio de momentos, outro valor para N A . Para isso, vamos fazer o somatório de momentos em relação à B   (isso elimina as forças N B e F B ) :

∑ M B = 0    

Repare que distância da força peso da barra até o ponto B é:

E a distância da força normal N A até o ponto B é:

Então, considerando o momento positivo girando no sentido horário, o somatório de momentos com relação ao ponto B das forças que atuam somente na barra fica assim:

∑ M B = 0     →       m g l 2 s e n θ - N A l c o s θ = 0

Então, a força normal que atua na barra é:

m g l 2 s e n θ - N A l c o s θ = 0       →         m g l 2 s e n θ = N A l c o s θ

N A = m g s en ⁡ θ 2 cos ⁡ θ         →         N A = m g 2 t g θ

Passo 4

Mas perceba que a força normal do bloco é transmitida para a barra por causa do contato entre esses dois elementos:

Ou seja, vamos igualar as duas expressões que achamos para N A :

N A = N A       →         m g 2 t g θ = m 0 g μ S

Como queremos saber θ m í n , vamos isolar o ângulo na expressão acima:

t g θ = 2 μ S m 0 m       →       θ m í n = a r c t g 2 μ S m 0 m

Perceba que estamos partindo do princípio que tudo está em equilíbrio. Assim, esse é o ângulo mínimo que estávamos procurando.

Sabendo que m / m 0 = 10 e μ S = 0,5 , vamos ter que:

θ m í n = a r c t g 2 0,5 . 1 10

θ m í n = 21,8 °  

Passo 5

Agora precisamos verificar se esse ângulo realmente mantém o conjunto em equilíbrio...

Para isso, vamos checar se a força de atrito em B é menor que a força de atrito máxima. Se for menor, isso significa que o ponto B não entrou no regime dinâmico o que, em outras palavras, quer dizer que a barra não começou a deslizar.

Então, vamos fazer o equilíbrio horizontal das forças:

∑ F x = 0       →       N A - F B = 0

F B = N A

Mas sabemos que para a barra:

N A = m g 2 t g θ

Então vamos substituir isso na nossa equação de equilíbrio:

F B = N A       →         F B = m g 2 t g θ

Mas sabemos que θ = 21,8 ° , então:

F B = m g 2 t g 21,8 °

F B ≅ 0,2 m g

Agora vamos fazer o somatório das for��as verticais para acharmos a força normal em B :

∑ F y = 0       →       N B - m g = 0

N B = m g

Com N B , podemos calcular a força de atrito máxima:

F B m á x = N B μ S

F B m á x = 0,5 m g

Agora temos que comparar a força de atrito em B que achamos com o seu valor máximo para que a barra continue parada:

F B < F B m á x

0,2 m g < 0,5 m g

Ou seja, o valor que achamos realmente é menor do que o valor máximo. Então, podemos garantir que a barra realmente não irá deslizar!

Resposta

θ m í n = 21,8 °  

N ã o   o c o r r e   d e s l i z a m e n t o   e m   B

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