Exercícios Resolvidos de 1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

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Enunciado

O comprimento das peças produzidas por uma máquina pode ser tratado como uma variável aleatória Normal com valor esperado µ (mm) e variância σ 2 (mm2 ). Uma peça pode ser considerada defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 2,5 mm e 47,5% das peças produzidas têm comprimento entre 2,5 mm e 3,42 mm.

(a) Calcule µ e σ.

(b) Determine a probabilidade de que uma peça não seja defeituosa.

(c) Calcule DIQ, distância interquartil da v.a. comprimento das peças.

Passo 1

(a) Primeiro vamos lembrar que uma v.a. normal é simétrica em relação à média. Isso quer dizer que P ( X < μ )   =   0,50 . Como o enunciado diz que P ( X < 2,5 )   =   0,50 , temos que μ =   2,5 m m .

Passo 2

Foi dado que P ( 2,5 < X < 3,42 )   =   0,475 . Fazendo a transformação para a normal padrão (subtrai a média e divide pelo desvio-padrão), temos:

P ( 2,5 < X < 3,42 )   =   P ( 2,5 - 2,5 σ < X - μ σ < 3,42 - 2,5 σ )   =   P ( 0 < Z < 0,92 σ ) .

Olhando na tabela da normal padrão, temos que P ( 0 < Z < 1,96 )   =   0,475 . Assim:

0,92 σ =   1,96   ⇒ σ = 0,92 1,96   = 0,47 m m .  

Passo 3

(b) Uma peça não é defeituosa se a diferença (em valor absoluto) entre o comprimento da peça e a média μ =   2,5 m m for menor que um desvio-padrão. Isso é:

| X - μ |   < σ →   - σ < X - μ < σ .

Então vamos calcular, de novo dividindo pelo desvio-padrão:

P ( - σ < X - μ < σ )   =   P ( - 1 < X - μ σ < 1 )   =   P ( - 1 < Z < 1 ) .

Agora é só olhar na tabela da normal padrão!

P ( - 1 < Z < 1 ) = 0,6827

Passo 4

(c) A distância interquartil é dada por D I Q   =   Q 3 -   Q 1 , onde Q 1 quer dizer o número tal que P ( X < Q 1 ) = 0,25 e Q 3 o número c tal que P ( X < Q 3 ) = 0,75 .

Pra gente descobrir esses números, fazemos o truque de subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão (de novo), pra olhar na tabela da normal padrão:

P ( X < Q ! ) = P ( X - 2,5 0,47   < Q 1 - 2,5 0,47 )   =   P ( Z < Q 1 - 2,5 0,47 )   =   0.25 .

Aí a gente acha que Q 1 - 2,5 0,47   =   - 0,67   → Q 1 =   ( 0,47 ) × ( - 0,67 )   +   2,5

→ Q 1 =   2,185 m m .

Fazendo a mesma conta para Q 3 , obtemos que Q 3 = ( 0,47 ) × ( 0,67 )   +   2,5   → Q 3 =   2,815 m m

Passo 5

Agora é só subtrair um do outro!

D I Q   =   Q 3 - Q 1 =   2,815   -   2,185 = 0,63 m m

Resposta

  1. μ =   2,5 m m e σ =   0,47 m m
  2. 0,6827
  3. 0,63 m m

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