Exercícios Resolvidos de 1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

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No processo de modelagem de um problema, sabe-se que determinada variável tem uma distribuição de probabilidade simétrica. Entretanto há controvérsias sobre se ela deve ser uma Uniforme ou uma Normal. Considere as variáveis aleatórias X ~ U [ a ; b ] e Y ~ N ( μ ; σ 2 ) , tais que E X = μ e V a r X = σ ² . Para comparar as distribuições de X e de Y , calcule:

a) P ( μ - σ < Y < μ + σ ) P ( μ - σ < X < μ + σ )

b) P ( μ - σ 3 < Y < μ + σ 3 ) P ( μ - σ 3 < X < μ + σ 3 )

c) D I Q ( Y ) D I Q ( X ) , ( D I Q , significa distância interquartil).

Passo 1

a)

Existem duas v.a.s que podem representar o mesmo processo de modelagem. E se elas descrevem o mesmo processo, elas devem ter parâmetros iguais. Então:

E X = E ( Y )

V a r X = V a r ( Y )

As fórmulas da esperança e da variância de uma distribuição uniforme são conhecidas, e as da normal são dadas. Vamos igualar as fórmulas então:

a + b 2 = μ

( b - a ) ² 12 = σ 2 → σ b - a = 1 2 3

Vamos chamar essa relação de nossa queridinha e guardá-la para daqui a pouco!

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Passo 2

Agora vamos começar a calcular as probabilidades. Primeiro o numerador:

P ( μ - σ < Y < μ + σ )

Podemos padronizar esse Y aí, já que ele segue uma Normal. Mas aí fazemos as operações de subtração e divisão para todos os termos da inequação:

P - 1 < Y - μ σ < 1 = P ( - 1 < Z < 1 )

Usando as propriedades da Normal, desenvolvemos isso aí:

P - 1 < Z < 1 = 2 P ( Z < 1 ) - 1

Olhando quanto vale P ( Z < 1 ) na tabela...

= 2 0,8413 - 1 = 0,6826

Agora o denominador:

P ( μ - σ < X < μ + σ )

Na distribuição uniforme, podemos calcular isso aí fazendo:

∫ μ - σ μ + σ f x d x = ∫ μ - σ μ + σ x - a b - a d x = μ + σ - ( μ - σ ) b - a = 2 σ b - a

Agora vamos usar nossa queridinha! Lembrando que σ b - a = 1 2 3 :

2 σ b - a = 1 3

Essa daí é a probabilidade do denominador então. Juntando as duas que calculamos:

P μ - σ < Y < μ + σ P ( μ - σ < X < μ + σ ) = 0,6826 1 3 = 1,182

Passo 3

b)

Vamos fazer o mesmo procedimento agora. Primeiro para o numerador:

P ( μ - σ 3 < Y < μ + σ 3 )

Podemos padronizar esse Y aí, já que ele segue uma Normal. Mas aí fazemos as operações de subtração e divisão para todos os termos da inequação:

P - 3 < Y - μ σ < 3 = P ( - 3 < Z < 3 )

Usando as propriedades da Normal, desenvolvemos isso aí:

P - 3 < Z < 3 = 2 P Z < 3 - 1 = 2 P Z < 1,73 - 1

Olhando quanto vale P ( Z < 1,73 ) na tabela...

= 2 0,9582 - 1 = 0,9164

Agora o denominador:

P ( μ - σ 3 < X < μ + σ 3 )

Na distribuição uniforme, podemos calcular isso aí fazendo:

∫ μ - σ 3 μ + σ 3 f x d x = ∫ μ - σ 3 μ + σ 3 x - a b - a d x = μ + σ 3 - ( μ - σ 3 ) b - a = 2 σ 3 b - a

Agora vamos usar nossa queridinha! Lembrando que σ b - a = 1 2 3 :

2 σ 3 b - a = 1

Essa daí é a probabilidade do denominador então. Juntando as duas que calculamos:

P μ - σ 3 < Y < μ + σ 3 P ( μ - σ 3 < X < μ + σ 3 ) = 0,9164 1 = 0,9164

Passo 4

c)

Para descobrir a distância interquartil, temos que saber onde ficam os quartis de cada caso.

Começando pelo Y , que é uma normal. Usamos a tabela da normal para achar os pontos com 25 % e 75 % de probabilidade (primeiro e terceiro quartil respectivamente):

z 0,25 = - 0,675

z 0,75 = 0,675

Mas esses daí seriam os quartis de uma normal padrão, para representar os quartis da nossa v.a. Y que tem média diferente de zero e desvio padrão diferente de 1 (ou seja, não é padrão), vamos ter que fazer:

Q 1 Y = σ z 0,25 + μ = σ ( - 0,675 ) + μ

Q 3 Y = σ z 0,75 + μ = σ 0,675 + μ

Por quê?! Porque estamos “despadronizando” os z , para vermos quanto eles valem para a nossa Normal! E pra despadronizar nós fazemos as operações inversas das que fazemos na hora de padronizar, ou seja, ao invés de subtrair a média e dividir pelo desvio padrão, nós multiplicamos pelo desvio padrão e somamos a média.

Então nosso DIQ fica:

D I Q ( Y ) = Q 3 - Q 1 = σ 0,675 + μ - - σ 0,675 + μ = 1,35 σ

Passo 5

E para calcular o DIQ na v.a. X ~ U ( a , b ) , temos que pensar... o gráfico da função dessa distribuição é uma reta paralela ao eixo x , como o nome diz, os valores se distribuem uniformemente... então pra gente calcular os pontos onde temos 25 % e 75 % dos dados, podemos fazer uma interpolação! Não se assusta e vem comigo.

Para o ponto com 25 % dos dados ( Q 1 ), estamos mais pertos do ponto a que do ponto b , certo? Mais precisamente, estamos 75 % MAIS PRÓXIMOS DE a , e 25 % mais próximos de b . Então:

Q 1 = 0,75 a + 0,25 b

E para o terceiro quartil, que é o ponto com 75 % dos dados, pensamos o contrário:

Q 3 = 0,25 a + 0,75 b

Então nosso DIQ fica:

D I Q ( X ) = Q 3 - Q 1 = 0,25 a + 0,75 b - 0,75 a + 0,25 b = 0,5 ( b - a )

Passo 6

Portando, nossa razão de DIQs é:

D I Q ( Y ) D I Q ( X ) = 1,35 σ 0,5 ( b - a )

E lembrando pela última vez da nossa relação queridinha, isso daí é simplificado para:

D I Q Y D I Q ( X ) = 0,779

Resposta

a)

1,182

b)

0,917

c)

0,779

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