Exercícios Resolvidos de 1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

Os dados abaixo correspondem a notas de uma turma de Probest com 30 alunos:

68         47         87         65         97         49         65         70         73         81

85         77         83         56         63         79         82         84         69         70

61         73         30         81         67         76         58         53         71         82

Onde:

∑ i = 1 30 x i = 2102   e   ∑ i = 1 30 x i 2 = 152996

(b)

(i) Calcule a média e os quartis;

(ii) Calcule a variância e o desvio padrão;

(iii) Existe alguma nota fora do intervalo x -   ±   2 s ?

Passo 1

Letra b)

(i) Para calcular a média x - , devemos lembrar que temos 30 notas ( n = 30 ) e que o enunciado deu o somatório dos x i pra gente. Então ficamos com isso aqui:

x - = ∑ i = 1 n x i n = 2102 30 = 70,07

(ii) Partiu calcular os quartis agora, mas pera lá:

Não esqueçam de sempre ter os dados da amostra em ordem crescente para calcular quartis!!! Aqui vamos usar o gráfico ramo-folha já feito.

Vamos calcular a posição deles pelas fórmulas que conhecemos. Começando pelo primeiro-quartil:

P o s Q 1 = n + 3 4 = 33 4 = 8,25

Epa! Nosso quartil não tem uma posição inteira exata, então vamos ter que fazer uma interpolação entre o 8º e 9º dado da nossa amostra, já que nossa posição é entre 8 e 9!

Olhando nosso gráfico ramo-folha, podemos notar que nosso 8º termo é 63 e nosso 9º termo é 65. E como 8,25 está 75% mais próximo de 8 e 25% mais próximo de 9:

Q 1 = 0,75 x 8 + 0,25 x 9 = 0,75 × 63 + 0,25 × 65 = 63,5

Agora nosso segundo-quartil (ou a famooosa mediana):

P o s Q 2 = n + 1 2 = 31 2 = 15,5

Opa! Tá exatamente entre o 15º e 16º dado da amostra, então fazemos interpolação 50% pra cada. Lembrando que nosso 15º termo é 70 e o 16º é 71:

Q 2 = 0,5 x 15 + 0,5 x 16 = 0,5 × 70 + 0,5 × 71 = 70,5

Agora nosso terceiro-quartil:

P o s Q 3 = 3 n + 1 4 = 91 4 = 22,75

Entre o 22º e 23º dado da amostra. Nosso 22º termo é o 81, e o 23º é 81 também!E nossa posição está 25% mais próxima do 22º e 75% mais próximo do 23º, isso dá pra gente:

Q 3 = 0,25 x 22 + 0,75 x 23 = 0,25 × 81 + 0,75 × 81 = 81

(iii) Vamos calcular nosso desvio-padrão amostral s pra verificar o que o enunciado tá pedindo. Lembrando da fórmula da variância amostral:

s 2 = ∑ x i 2 - ∑ x i 2 n n - 1

Substituindo os somatórios que o enunciado deu pra gente aí, e lembrando que n = 30 :

s 2 = 152996 - 2102 ² 30 29 ≈ 197,1 ≈ 14,04 ² → s = 14,04

Agora com o valor de s , vamos calcular o intervalo que temos que analisar:

x - ∓ 2 s = 70,01 ∓ 2 ( 14,04 ) → ( 41,99   ; 98,15 )

Beleza! Temos nosso intervalo e a questão pergunta se existe alguma nota fora dele.

Existe alguma nota menor que 41,99 ou maior que 98,15 ? Siiim! A nota 30, primeira integrante do nosso gráfico ramo-folha, tá fora desse intervalo.

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Resposta

Letra b)

  1. 70,07 Q 1 = 63,5     ;     Q 2 = 70,5     ;     Q 3 = 81
  2. s 2 = 197,1   ;     s = 14,04
  3. S i m ,   a   n o t a   30 .

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