Exercícios Resolvidos de 1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribu��da com parâmetro λ   =   1 2 .

(d) Suponha agora que a distribuição do tempo ( T 2 ) de reparo não seja mais Exponencial, mas que possa ser modelada por uma Normal com os mesmos parâmetros Média e Variância da Exponencial T 1 . Nesta nova condição calcule P ( T 2 > 1 ) , Mediana( T 2 ) e DIQ( T 2 ).

Passo 1

Letra d)

Vamos começar calculando a média e variância da nossa T 1 ~ Exponencial, que são dadas pelas fórmulas:

E X = 1 λ

V a r X = 1 λ 2

Como nosso λ = 1 2 :

E T 1 = 1 1 2 = 2

V a r T 1 = 1 ( 1 2 ) 2 = 4

E ele diz pra gente que T 2 segue uma Normal com a mesma média e variância de T 1 . Então:

T 2   ~   N o r m a l ( μ = 2 ; σ 2 = 4 )

Agora temos que calcular   P ( T 2 > 1 ) ! Como é uma Normal, bora padronizar issaê:

P T 2 > 1 = P Z > 1 - 2 4 = P Z > - 1 2

Quando temos um valor negativo ali dentro, basta invertermos o sinal de > ou < e tirar o negativo, desse jeito aqui:

P Z > - 1 2 = P Z < 1 2

E agora já temos nossa probabilidade no formato certinho pra procurar o valor dela na tabela da Normal:

P Z < 1 2 = ϕ 1 2 = 0,6915

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E pra finalizar ele tá pedindo pra gente Q 1 ,   Q 2 ,   Q 3   e   D I Q de uma Normal! Como fazemos isso?

Olha o pulo do gato agora!

A tabela da Normal nada mais fornece valores de probabilidades até certo ponto, lembra? Por exemplo:

Se eu quisesse saber a partir de qual valor nós temos 0,8888 dos nossos dados, eu veria qual o z associado à probabilidade 0,8888 no corpo da tabela, que é 1,22.

E quando falamos de medianas e quartis, é justamente isso que a gente quer saber, certo? Em qual valor nós temos 0,25, 0,50 e 0,75 dos nossos dados! Vamos procurar essas probabilidades no corpo da tabela e ver quais os z associados a elas:

ϕ z 3 = 0,75 → z 3 = 0,67

ϕ z 2 = 0,50 → z 2 = 0

ϕ z 1 = 0,25 → z 1 = - 0,67

Peraê, da onde veio esse z 1 pra 0,25? Nossa tabela começa a partir de 0,5, então não temos 0,25 nela. Por isso temos que procurar a probabilidade complementar de 0,25, ou seja, 0,75, e colocar o sinal de menos na frente do z associado a ela, beleza?

Acabou??? NÃO!!! Muita calma nessa hora!!! Não podemos esquecer que a tabela da Normal é associada à Normal Padrão, ou seja, aquela que tem média 0 e desvio padrão 1! E na nossa questão nossa Normal tem média 2 e desvio padrão 2 também, lembra?

T 2   ~   N o r m a l ( μ = 2 ; σ 2 = 4 )

Então esses z que a gente achou são os quartis e a mediana de uma Normal Padrão. Pra adaptar esses caras à nossa Normal vamos ter que: multiplicar cada z pela média e somar o desvio-padrão! Assim vamos “compensar” as diferenças do gráfico da Normal Padrão e da nossa Normal. Se liga:

Q 1 = σ z 1 + μ = 2 × - 0,67 + 2 = 0,66

Q 2 = σ z 2 + μ = 2 × 0 + 2 = 2

Q 3 = σ z 3 + μ = 2 × 0,67 + 2 = 3,34

E nossa D I Q então vai ser:

D I Q = 3,34 - 0,66 = 2,68

UFA!!! Foi!

Resposta

Letra d)

Q 1 = 0,66

Q 2 = 2

Q 3 = 3,34

D I Q = 2,68

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