Exercícios Resolvidos de 1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

1º, 2º e 3º Quartil e Distância Interquartil

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribuída com parâmetro λ   =   1 2 .

(c) Calcule a Mediana ( Q 2 ) e Distância Interquartil (DIQ) de T 1 .

Passo 1

Letra c)

Podemos calcular a mediana a partir da nossa FDA! A mediana (ou segundo quartil) não é o ponto onde até ele temos 50% dos nossos dados? Ou seja, os dados acumulados até esse ponto tem 50% de chance de ocorrerem! Então nossa mediana Q 2 vai ser o x da nossa F ( x ) quando F x = 0,50 , assim ó:

1 - e - x 2 = 0,50

e - x 2 = 0,50

Pra resolver isso aí, vamos aplicar l n dos dois lados:

l n ⁡ ( e - x 2 ) = l n ⁡ ( 0,5 )

- x 2 ln ⁡ e = l n ⁡ ( 0,5 )

x = - 2 l n ⁡ ( 0,5 ) ≅ 1,386

Então temos que:

Q 2 = 1,386

Já foi a mediana! Agora vamos partir pra distância interquartil (DIQ) que ele pede. E o que é isso mesmo? DIQ é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, Q 3 - Q 1 . Lembrando quem é quem:

Q 1 → valor onde até ele temos 25% dos dados

Q 3 → valor onde até ele temos 75% dos dados

Da mesma forma que a gente calculou Q 2 usando a FDA, vamos fazer o mesmo pro primeiro e pro terceiro quartil. Começando por Q 1 :

F x = 0,25

1 - e - x 2 = 0,25

x = - 2 ln ⁡ 0 , 7 5 ≅ 0,575 = Q 1

E agora Q 3 :

F x = 0,75

1 - e - x 2 = 0,75

x = - 2 ln ⁡ 0 , 2 5 ≅ 2,773 = Q 3

Então nossa DIQ vai ser:

D I Q =   Q 3 - Q 1

D I Q = 2,773 - 0,575 = 2,198

Botei esse módulo aí porque como estamos falando de distâncias, não faz sentido trabalharmos com números negativos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

Letra c)

Q 1 = 0,575

Q 2 = 1,386

Q 3 = 2,773

D I Q = 2,198

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