Exercícios Resolvidos de Análise de Circuitos Magnéticos

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Enunciado

No circuito magnético apresentado abaixo, o fluxo magnético no entreferro é de 2 × 10 - 4   W b . Utilizando a curva de histerese do material, determine:

( a ) O circuito elétrico equivalente ao circuito magnético apresentado

( b ) Os fluxos indicados na figura

( c ) O valor da corrente na bobina

Passo 1

Para esse núcleo, teremos cinco relutâncias:

R 1 → referente ao comprimento g h a b

R 2 → referente ao comprimento b g (perna central)

R 3 → referente ao comprimento b c d

R g → referente ao entreferro

R 4 → referente ao comprimento e f g

Como o fluxo gerado pelas espiras na perna da esquerda ϕ T se divide entre os fluxos ϕ 1 e ϕ 2 , temos o circuito magnético abaixo:

Onde:

R 1 = l a b + l g h + l h a μ 1 A

R 2 = l b g μ 2 A b g

R 3 = l b c + l c d μ 3 A

R g = l d e μ 0 A

R 4 = l e f + l f g μ 4 A

Passo 2

O enunciado disse que o fluxo no entreferro é 2 × 10 - 4   W b , ou seja:

ϕ 1 = 2 × 10 - 4   W b

Logo, a densidade de fluxo no entreferro e em todo lado direito será:

B 1 = ϕ 1 A

Como a área da seção reta é 5 × 10 - 4   m para todo o núcleo, exceto no entreferro, temos:

B 1 = 2 × 10 - 4   5 × 10 - 4

B 1 = 0,4   T

Passo 3

A curva de magnetização, também chamada de curva de histerese, desse núcleo é a de cor laranja, já que seu material é em aço laminado (Sheet steel). Então, analisando a curva de magnetização, temos que para essa densidade de fluxo a intensidade de campo magnético é:

B 1 = 0,4   T → H 1 = 55   A . e / m

Como, B 1 = μ H 1 , a permeabilidade do núcleo no lado esquerdo é

μ = B 1 H 1

μ = 0,4 55

μ = 0,00727   H / m

Como eu disse antes, essa é a permeabilidade do lado esquerdo do núcleo. Então, essa será a permeabilidade das relutâncias 3 e 4 .

μ = μ 3 = μ 4 = 0,00727   H / m  

Passo 4

Com isso, podemos calcular as três relutâncias do lado esquerdo do circuito. Vamos começar por R 3 e   R 4 :

R 3 = l b c + l c d μ 3 A

R 3 = 0,1 + 0,099 ( 0,00727 ) ( 5 × 10 - 4 )

R 3 = 54745,5   A . e / W b

R 4 = l e f + l f g μ 4 A

R 4 = 0,099 + 0,1 ( 0,00727 ) ( 5 × 10 - 4 )

R 4 = 54745,5   A . e / W b

Agora vamos calcular a relutância do entreferro:

R g = l d e μ 0 A

R g = 0,002 ( 4 π × 10 - 7 ) ( 5 × 10 - 4 )

R g = 3183098,9   A . e / W b

Passo 5

Como já calculamos as relutâncias do ramo direito do circuito e o fluxo que passa por elas, vamos utilizar a analogia entre circuitos magnéticos e determinar a força magnetomotriz no nó do circuito.

F 1 = R 3 + R g + R 4 × ϕ 1

F 1 = 54745,5 + 3183098,9 + 54745,5 × 2 × 10 - 4

F 1 = 658,5   A . e

Passo 6

Também está sendo aplicado a relutância R 2 a mesma F M M , já que esta relutância está em paralelo com o ramo da esquerda do circuito. Então:

F 1 = R 2 ϕ 2

Agora, vamos utilizar uma outra relação para F M M na perna central:

F 1 = H b g l b g

Como F 1 = 658,5   A . e e l b g = 0,2   m , podemos calcular a intensidade de campo magnético na perna central:

H b g = F 1 l b g

H b g = 658,5   0,2

H b g = 3292,5   A . e / m

Então, analisando a curva de histerese, temos que para essa intensidade de campo magnético a densidade de fluxo é:

H b g = 3292,5   A . e / m       →       B b g = 1,55   T

Com o valor da densidade de fluxo magnético podemos calcular o fluxo na perna central:

ϕ 2 = B b g A b g

ϕ 2 = 1,55 2 × 10 - 4

ϕ 2 = 3,1 × 10 - 4   W b

Passo 7

Como o fluxo magnético é análogo à corrente elétrica, temos que a soma dos fluxos que entram em um nó é igual à soma dos fluxos que sai desse nó.

Logo, no circuito acima:

ϕ T = ϕ 1 + ϕ 2

ϕ T = 2 × 10 - 4 + ( 3,1 × 10 - 4 )

ϕ T = 5,1 × 10 - 4   W b

Passo 8

Também podemos calcular a permeabilidade da perna central do núcleo utilizando os valores encontrados para H b g e B b g . Como, B = μ H , temos:

μ 2 = B b g H b g

μ 2 = 1,55 3292,5

μ 2 = 4,7 × 10 - 4   H / m

Agora já temos todos os valores necessários para calcular a relutância referente à perna central do núcleo:

R 2 = l b g μ 2 A b g

R 2 = 0,2 ( 4,7 × 10 - 4 ) 2 × 10 - 4

R 2 = 2127659,6   A . e / W b

Passo 9

Falta determinarmos a relutância R 1 , referente ao caminho g h a b . Para determinarmos seu valor, antes, temos que determinar a permeabilidade magnética do núcleo por onde passa o fluxo total ( ϕ T ) :

μ 1 = B T H T

Com o valor do fluxo total podemos calcular a densidade de fluxo magnético:

B T = ϕ T A

B T = 5,1 × 10 - 4 5 × 10 - 4

B T = 1,02   T

Então, analisando a curva de magnetização, temos que para essa densidade de fluxo a intensidade de campo magnético é:

B T = 1,02   T → H T = 180   A . e / m

Portanto, a permeabilidade do núcleo nessa região será:

μ 1 = 1,02 180

μ 1 = 5,67 × 10 - 3   H / m

Passo 10

Agora vamos calcular a relutância R 1 :

R 1 = l a b + l g h + l h a μ 1 A

R 1 = 0,2 + 0,2 + 0,2 ( 5,67 × 10 - 3 ) ( 5 × 10 - 4 )

R 1 = 211640,2   A . e / W b

Passo 11

Para encontrarmos o valor da corrente na bobina, primeiro temos que determinar a força magnetomotriz F .

Podemos determiná-la de várias maneiras. Uma delas é determinar a relutância equivalente do circuito e utilizar a relação análoga a lei de Ohm:

F = R e q ϕ T

Mas, podemos determiná-la de uma maneira mais rápida, já que:

ϕ T = F - F 1 R 1

Viu só?! Igual a gente fazia em circuitos elétricos!

Então, substituindo pelos valores que calculamos:

5,1 × 10 - 4 = F - 658,5   211640,2

F = 107,9 + 658,5

F = 766,4   A . e

Passo 12

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 766,4 200

i = 3,83   A

Pronto!

Resposta

( a )

b   ϕ T = 5,1 × 10 - 4   W b ;   ϕ 1 = 2 × 10 - 4   W b ;   ϕ 2 = 3,1 × 10 - 4   W b

c   i = 3,83   A

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