Exercícios Resolvidos de Análise de Circuitos Magnéticos

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Enunciado

Um núcleo com três pernas é mostrado na figura abaixo:

Sua profundidade é 5   c m e há 400 espiras na perna central. As demais dimensões estão mostradas na figura. O núcleo é composto de um aço cuja curva de magnetização está mostrada abaixo:

Responda às seguintes perguntas sobre esse núcleo:

( a ) Que corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo de 0,5   T na perna central do núcleo?

( b ) Que corrente é necessária para produzir uma densidade de fluxo de   1,0   T na perna central do núcleo? Essa corrente é o dobro da corrente da parte ( a ) ?

( c ) Quais são as relutâncias das pernas central e direita do núcleo para as condições da parte ( a ) ?

( d ) Quais são as relutâncias das pernas central e direita do núcleo para as condições da parte ( b ) ?

Passo 1

Nesse exemplo temos três relutâncias: uma referente à perna central, uma referente ao lado esquerdo e outra referente ao lado direito.

Além disso, o fluxo produzido na perna central se dividirá em dois: um seguindo para a esquerda e outro para a direita. Logo, o circuito é paralelo e, consequentemente, as relutâncias estão associadas em paralelo.

Como o fluxo é o análogo à corrente em um circuito elétrico, temos:

ϕ 1 = ϕ 2 + ϕ 3

Passo 2

Na letra ( a ) , a densidade de fluxo na perna central é 0,5   T . Para essa densidade de fluxo o fluxo é:

ϕ 1 = B 1 A 1

A área da seção reta é a mesma para todo o núcleo:

A = 0,05 0,05 = 0,0025   m

Logo, o fluxo na perna central será:

ϕ 1 = ( 0,5 ) ( 0,0025 )

ϕ 1 = 0,00125   W b

Passo 3

Como o núcleo é simétrico, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre a perna da esquerda e da direita.

Então,

ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ 1 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,00125 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,000625   W b

Para esses fluxos, a densidade de fluxo será:

B 2 = B 3 = 0,000625 0,0025

B 2 = B 3 = 0,25   T

Passo 4

Utilizando a curva de magnetização, vemos que para uma densidade de fluxo de 0,25   T a intensidade de campo magnético é 50   A . e / m e para uma densidade de 0,5   T a intensidade é 75   A . e / m .

H 1 = 7 5   A . e / m

H 2 = H 3 = 50   A . e / m

Agora vamos calcular as permeabilidades relativas para depois calcularmos as relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1                         R 2 = l 2 μ c 2 A 2                       R 3 = l 3 μ c 3 A 3

Então, vamos começar. Para a perna central, temos:

μ c 1 = B 1 H 1

μ c 1 = 0,5 75 = 0,00667   H / m

Já para as pernas laterais:

μ c 2 = μ c 3 = 0,25 50 = 0,005   H / m

Passo 5

Como a área da seção reta é a mesma para todo o núcleo, falta calcularmos o comprimento médio relacionado à cada relutância.

Onde:

l 1 = 2,5 + 16 + 2,5 = 21   c m = 0,21   m

l 2 = l 3 = 2 × 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 16 + 2,5 = 63   c m = 0,63   m

Então, substituindo todos os valores que encontramos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1

R 1 = 0,21 ( 0,00667 ) ( 0,0025 )

R 1 = 12593,7   A . e / W b

R 2 = R 3 = l 2 μ c 2 A 2

R 2 = R 3 = 0,63 ( 0,005 ) ( 0,0025 )

R 2 = R 3 = 50400   A . e / W b

Passo 6

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, vamos usar o circuito magnético e a nossa relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ 1 R e q

Como as relutâncias R 1 e R 2   estão em paralelo, a relutância equivalente será:

R e q = R 1 + R 2 R 3

R e q = 12593,7     + 50400 50400

R e q = 12593,7     + 50400 × 50400 50400 + 50400

R e q = 12593,7 + 25200

R e q = 37793,7   A . e / W b

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 0,00125 ) ( 37793,7   )

F = 47,2   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 47,2 400

i = 0,12   A

Passo 7

Na letra ( b ) , a densidade de fluxo na perna central é 1,0   T . Para essa densidade de fluxo o fluxo é:

ϕ 1 = B 1 A 1

A área da seção reta é a mesma para todo o núcleo:

A = 0,05 0,05 = 0,0025   m

Logo, o fluxo na perna central será:

ϕ 1 = ( 1,0 ) ( 0,0025 )

ϕ 1 = 0,0025   W b

Passo 8

Como o núcleo é simétrico, o fluxo gerado na perna central se divide igualmente entre a perna da esquerda e da direita. Então,

ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ 1 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,0025 2

ϕ 2 = ϕ 3 = 0,00125   W b

Para esses fluxos, a densidade de fluxo será:

B 2 = B 3 = 0,00125 0,0025

B 2 = B 3 = 0,5   T

Passo 9

Utilizando a curva de magnetização, vemos que para uma densidade de fluxo de 1,0   T a intensidade de campo magnético é 160   A . e / m e para uma densidade de 0,5   T a intensidade é 75   A . e / m .

H 1 = 160   A . e / m

H 2 = H 3 = 7 5   A . e / m

Agora vamos calcular as permeabilidades relativas. Para a perna central, temos:

μ c 1 = B 1 H 1

μ c 1 = 1,0 160 = 0,00625   H / m

Já para as pernas laterais:

μ c 2 = μ c 3 = 0,5 75 = 0,00667   H / m

Passo 10

Então, substituindo todos os valores que encontramos, temos as seguintes relutâncias:

R 1 = l 1 μ c 1 A 1

R 1 = 0,21 ( 0,00625 ) ( 0,0025 )

R 1 = 13440   A . e / W b

R 2 = R 3 = l 2 μ c 2 A 2

R 2 = R 3 = 0,63 ( 0,00667 ) ( 0,0025 )

R 2 = R 3 = 37781,1   A . e / W b

Passo 11

Para encontrarmos a corrente, primeiro, temos que calcularmos a F M M . Então, vamos usar o circuito magnético e a nossa relação análoga a lei de Ohm para circuitos magnéticos:

F = ϕ 1 R e q

Como as relutâncias R 1 e R 2   estão em paralelo, a relutância equivalente será:

R e q = R 1 + R 2 R 3

R e q = 13440     + 37781,1 37781,1

R e q = 13440     + 37781,1 × 37781,1 37781,1 + 37781,1

R e q = 13440 + 18890,5

R e q = 32330,5   A . e / W b

Então, substituindo os valores que calculamos:

F = ( 0,0025 ) ( 32330,5 )

F = 80,8   A . e

Como

F = N i

A corrente será

i = F N

i = 80,8 400

i = 0,202   A

Passo 12

Na letra ( c ) é pedido as relutâncias da perna central e direita para as condições da letra ( a ) . Nós já calculamos essas relutâncias quando estávamos querendo descobrir a correnta na letra ( a ) . Elas são:

R 1 = 12593,7   A . e / W b

R 3 = 50400   A . e / W b

Passo 13

Para terminar, na letra ( d ) as relutâncias pedidas são para as condições da letra ( b ) , que também já tínhamos calculado:

R 1 = 13440   A . e / W b

R 3 = 37781,1   A . e / W b

Resposta

a   i = 0,12   A b   i = 0,202   A c   R 1 = 12593,7   A . e / W b ;   R 3 = 50400   A . e / W b d   R 1 = 13440   A . e / W b ;   R 3 = 37781,1   A . e / W b

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