Enunciado

Um núcleo com três pernas está mostrado na figura abaixo. Sua profundidade é de 5   c m e há 100 espiras na perna esquerda. Pode-se assumir que a permeabilidade relativa do núcleo é 2000 e constante. Que fluxo existe em cada uma das três pernas do núcleo? Qual é a densidade de fluxo em cada uma das pernas? Assuma um aumento de 5 % na área efetiva do entreferro devido aos efeitos de espraiamento.

Passo 1

Vamos começar calculando os comprimentos de cada braço:

l 1 = 2 × 4,5 + 25 + 7,5 × 10 - 2 + 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 1 = 1,08   m  

Para l 2 e l 3 temos que lembrar de subtrair o valor do comprimento dos gaps:

l 2 = 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 2 = 0,34   m  

l 3 = 2 × 4,5 + 25 + 7,5 × 10 - 2 + 4,5 + 25 + 4,5 × 10 - 2

l 3 = 1,08   m  

Passo 2

Calculando as áreas:

A 1 = 9 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 1 = 0,0045   m 2

A 2 = 15 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 2 = 0,0075   m 2

A 3 = 9 × 10 - 2 × 5 × 10 - 2

A 3 = 0,0045   m 2

Passo 3

Cuidado agora!!! O enunciado disse para assumir um incremento de 5 % na área efetiva do entreferro para compensar o espraiamento. O que isso quer dizer?

Na prática é simples: temos que considerar que a área da seção reta do entreferro é 5 % maior do que a área da seção reta real em que ele se encontra:

A g = 1,05 × A 2

Calma que eu te explico! Vamos dar um zoom no entreferro desse núcleo:

Esse é o efeito de espraiamento de um campo magnético no entreferro. Viu o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do metal? Por isso o enunciado pediu para a gente considerar esse aumento.

A g = 1,05 × 0,0075  

A g = 0,007875   m 2

Passo 4

O circuito terá as relutâncias do núcleo e também a relutância associada aos entreferro, denominadas de R g . O circuito do problema fica assim:

Calculando as relutâncias:

R 1 = l 1 μ 0 μ R × A 1 = 1,08 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0045 = 95493,0   A . e / W b

R 2 = l 2 μ 0 μ R × A 2 = 0,34 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0075 = 18037,56   A . e / W b

R 3 = l 3 μ 0 μ R × A 3 = 1,08 4 π × 10 - 7 × 2000 × 0,0045 = 95493,0   A . e / W b

Para o cálculo das relutâncias no entreferro, temos que lembrar que o μ R não entra na fórmula, porque é um entreferro de ar:

R g = g μ 0 × A g = 0,05 × 10 - 2 4 π × 10 - 7 × 0,007875 = 50525,37   A . e / W b

Passo 5

A relutância total será:

R T O T A L = R 1 + ( R 2 + R g ) R 3

R 2 + R g = 68562,93   A . e / W b

R T O T A L = 95493,0 + 68562,93 × 95493,0   68562,93 + 95493,0  

R T O T A L = 135401,82   A . e / W b

Passo 6

Agora podemos calcular o valor do fluxo total:

ϕ T O T A L   = ϕ 1 = F R T O T A L

ϕ 1 = N i R T O T A L

ϕ 1 = 100 × 2 135401,82

ϕ 1 = 1,48 × 10 - 3   W b

Passo 7

Agora vamos calcular os fluxos central e da direita utilizando o mesmo princípio de divisor de corrente em circuitos elétricos. O fluxo central será:

ϕ 2 = R 3 R 2 + R g + R 3 × ϕ T O T A L

ϕ 2 = 95493,0   68562,93 + 95493,0 × 1,48 × 10 - 3  

ϕ 2 = 8,61 × 10 - 4   W b

Passo 8

O fluxo da direita será:

ϕ 3 = R 2 + R g R 2 + R g + R 3 × ϕ T O T A L

ϕ 3 = 68562,93 68562,93 + 95493,0 × 1,48 × 10 - 3  

ϕ 3 = 6,2 × 10 - 4   W b

Passo 9

A densidade de fluxo em cada perna do circuito será:

B 1 = ϕ 1 A 1 = 1,48 × 10 - 3 0,0045   = 0,329   T

B 2 = ϕ 2 A 2 = 8,61 × 10 - 4   0,0075   = 0,115   T

B 3 = ϕ 3 A 3 = 6,2 × 10 - 4 0,0045 = 0,138   T

Resposta

ϕ 1 = 1,48 × 10 - 3   W b

ϕ 2 = 8,61 × 10 - 4   W b

ϕ 3 = 6,2 × 10 - 4   W b

B 1 = 0,329   T

B 2 = 0,115   T

B 3 = 0,138   T

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