Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

Seja a ∈ R . As retas

r : X = 1,1 , 1 + λ - 2,1 , 1   λ ∈ R

E

s :   y + z = a x + y - z = 0

São reversas se, e somente se, a é diferente de

a) 3

b) - 1

c) 1

d) - 2

e) 2

f) - 3

Passo 1

E aíí gente, belezura? Vamos lá falar sobre retas reversas?

Temos duas equações de retas. Uma equação vetorial de r :

r : X = 1,1 , 1 + λ - 2,1 , 1   λ ∈ R

E uma equação de s que é definida como a intersecção entre 2 planos:

s :   y + z = a x + y - z = 0

E aí queremos saber qual valor o a NÃO pode ser, pra que assim as retas sejam reversas

Só pra lembrar. Se temos uma reta com vetor diretor r → , uma reta com vetor diretor s → e um vetor A B → que liga 2 pontos dessas retas. Se o produto misto entre esses 3 vetores for diferente de 0 , as retas são reversas, fechou?

Ah, o produto misto é calculado colocando os 3 vetores nas linhas de uma matriz e calculando o determinante.

Então vamos ver para quais valores de a esse determinante vai ser diferente de 0 😉

Vamos começar encontrando os vetores diretores das retas

Passo 2

A reta r tem essa equação vetorial:

r : X = 1,1 , 1 + λ - 2,1 , 1   λ ∈ R

Onde 1,1 , 1 é um ponto por onde ela passa e - 2,1 , 1 é o seu vetor diretor. Então já temos que r → = - 2,1 , 1

Já a reta s é dada assim

s :   0 x + 1 y + 1 z = a 1 x + 1 y - 1 z = 0

Ela é a intersecção do plano y + z = a com o plano x + y - z = 0 . Quando uma reta é a intersecção de dois planos, o vetor diretor dela vai ser ortogonal aos vetores normais desses planos. Ou seja, podemos dizer que s → = n 1 × n 2 (lembrando que o produto vetorial sempre resulta em um vetor ortogonal aos outros dois)

n 1 e n 2 são os vetores normais dos 2 planos que definem a reta s . Os vetores normais são dados pelo que está multiplicando x , y , z , então:

n 1 = 0,1 , 1

n 2 = 1,1 , - 1

Ebaa, então vamos encontrar s → :

s → = 0,1 , 1 × 1,1 , - 1

O produto vetorial é dado por esse determinante:

s → = i ^ j ^ k ^ 0 1 1 1 1 - 1

Calculando o determinante:

s → = i ^ j ^ k ^ 0 1 1 1 1 - 1 i ^ j ^ 0 1 1 1 = - i ^ + j ^ - k ^ - i ^ = - 2 i ^ + j ^ - k ^

Ou seja, o vetor diretor da reta s vai ser:

s → = - 2,1 , - 1

Passo 3

Já temos o vetor diretor de r e o de s . Agora precisamos de um ponto de cada uma dessas retas para formarmos o vetor A B →

Bom, para r está tranquilo:

r : X = 1,1 , 1 + λ - 2,1 , 1   λ ∈ R

Um ponto que a reta r passa é o ponto A = 1,1 , 1

Agora para s , vamos ter que refletir na equação dessa reta:

s :   y + z = a x + y - z = 0

Assumindo y = 0 , temos

0 + z = a → z = a

x + 0 - z = 0 → x = z → x = a

Então, o ponto B = a , 0 , a pertence à reta s

Logo, o vetor A B → que tinha ficado faltando vai ser

A B → = B - A = a , 0 , a - 1,1 , 1 = ( a - 1 , - 1 , a - 1 )

Showw, agora é só calcular o produto misto 😊

Passo 4

Temos r → = - 2,1 , 1 ,   s → = - 2,1 , - 1 e A B → = a - 1 , - 1 , a - 1

Para que as retas sejam reversas, o produto misto desses 3 vetores tem que ser diferente de 0 . Vamos ver para quais valores de a isso acontece.

r → ,   s → ,   A B → = - 2 1 1 - 2 1 - 1 a - 1 - 1 a - 1 ≠ 0

Calculando o determinante:

- 2 1 1 - 2 1 - 1 a - 1 - 1 a - 1 - 2 1 - 2 1 a - 1 - 1 = - 2 ∙ a - 1 - ( a - 1 ) + 2 - a - 1 + 2 + 2 ∙ a - 1 ≠ 0

- 2 a + 2 - a + 1 + 2 - a + 1 + 2 + 2 a - 2 ≠ 0

6 - 2 a ≠ 0

2 a ≠ 6

Então, para que o determinante seja diferente de 0 , precisamos ter

a ≠ 3

E isso fará com que as retas sejam reversas 😊

A alternativa correta é a letra A!

Resposta

a) 3

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