Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Enunciado

Verificar se a reta

r : x - 2 3 = y + 1 - 2 = z - 1 é perpendicular ao plano π : 9 x - 6 y - 3 z + 5 = 0

Passo 1

Bem, se a reta e o plano são perpendiculares, o ângulo entre eles tem que ser 90 ° ! Também sabemos que sin ⁡ 90 ° = 1 , então é só usar isso na nossa fórmulinha!

Pela teoria sabemos que para encontrar o ângulo entre um plano e uma reta, precisamos do vetor diretor da reta E do vetor normal ao plano. Vamos retirar esses dados das equações que temos, então:

r → = 3 ,   - 2 ,   - 1

n → = ( 9 ,   - 6 ,   - 3 )

A fórmula é (lembrando que nesse caso θ = 90 ° ):

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → |

Passo 2

Antes de colocar tudo na fórmula, vamos calcular separadamente o módulo do produto escalar e o módulo dos vetores:

r → ∙ n → = 3 ,   - 2 ,   - 1 ∙ 9 ,   - 6 ,   - 3 = | 27 + 12 + 3 | = 42

r → = 3 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 14

n → = 9 2 + ( - 6 ) 2 + - 3 2 = 126

Agora que já temos os valores só colocar na fórmula:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → | → sin ⁡ θ = 42 14 × 126

Vamos ver se isso vai dar 1 (já que sin ⁡ 90 ° = 1 )

sin ⁡ θ = 42 1764 = 42 42 = 1

Como achamos que,

sin ⁡ θ = 1

θ = 9 0 °

E a reta e o plano são perpendiculares!

Resposta

θ = 9 0 °

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