Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Enunciado

Dados os pontos P = ( - 1,1 , 1 ) e Q = ( 2,1 , 3 ) e os vetores v = 2 , a , - 3 e w = ( 0 , b , 0 ) , com a , b ∈ R ,   b ≠ 0 , considere as afirmações abaixo a respeito das retas r : X = P + λ v   ( λ ∈ R ) e s : Y = Q + μ w   μ ∈ R

I. As retas r e s são sempre reversas, para quaisquer valores de a e b ≠ 0

II. Se π é o plano determinado pelo ponto P e pela reta s , então v é ortogonal a π se, se somente se, a = 1

III. A distância do ponto Q à reta r é igual a 13

É correto afirmar que

a) I, II e III são verdadeiras

b) Apenas II e III são verdadeiras

c) Apenas I e III são verdadeiras

d) I, II e III são falsas

e) Apenas I e II são verdadeiras

Passo 1

Olááá pessoal! Prontos pra mais uma?

Nessa questão, temos as retas:

r : X = - 1,1 , 1 + λ . 2 , a , - 3

s : Y = 2,1 , 3 + μ . 0 , b , 0

Onde P = ( - 1,1 , 1 ) é um ponto da reta r e v = ( 2 , a , - 3 ) o seu vetor diretor

E Q = ( 2,1 , 3 ) é um ponto da reta s e o vetor u = ( 0 , b , 0 ) é seu vetor diretor

Enfim, aí ele dá 3 afirmações diferentes sobre essas retas, e temos que avalias quais são verdadeiras/falsas, beleza?

Então vamos lá ver as afirmações uma a uma 😊

Passo 2

A primeira afirmação diz que “As retas r e s são sempre reversas, para quaisquer valores de a e b ≠ 0

Galera, para vermos quando as retas são reversas, vamos fazer o seguinte:

- Encontrar um vetor que ligue um ponto de r a um ponto de s (por exemplo, o vetor P Q → , que liga o ponto P a Q )

- Colocar v ,   u ,   P Q → nas linhas de uma matriz

- Ver quando o determinante da matriz vai ser diferente de 0 . Quando isso acontecer, as retas são reversas.

Então vamos lá. Começando pelo vetor P Q → . Sabemos que P = ( - 1,1 , 1 ) e Q = ( 2,1 , 3 )

P Q → = Q - P = 3,0 , 2

Show! Sabemos também que os vetores diretores das retas são v = ( 2 , a , - 3 ) e u = ( 0 , b , 0 ) . Colocando esses vetores em uma matriz:

2 a - 3 0 b 0 3 0 2

Para que as retas sejam reversas, o determinante dessa matriz deve ser ≠ 0 :

2 a - 3 0 b 0 3 0 2 ≠ 0

Calculando o determinante:

2 a - 3 0 b 0 3 0 2 2 a 0 b 3 0 ≠ 0

4 b + 9 b ≠ 0

13 b ≠ 0

b ≠ 0

Opa! Então para que o determinante seja diferente de 0, basta que b ≠ 0 . Em relação a a , ele pode assumir qualquer valor, afinal ele nem aparece no determinante!

Então a afirmação 1 é verdadeira, fechou?

Passo 3

A afirmação 2 diz que “Se π é o plano determinado pelo ponto P e pela reta s , então v é ortogonal a π se, se somente se, a = 1

Vamos começar pensando no plano π . Ele passa pelo ponto P = - 1,1 , 1 e o vetor u = ( 0 , b , 0 ) é um vetor diretor dele (o mesmo da reta s )

Para que o vetor v = ( 2 , a , - 3 ) seja ortogonal a π , ele deve ser ortogonal ao vetor diretor u = ( 0 , b , 0 ) . Então, o produto escalar de u e v deve valer 0 , certo?

u . v = 0

0 , b , 0 . 2 , a , - 3 = 0

a . b = 0

Então, para que isso aconteça, ou a = 0 ou b = 0 . Mas se b = 0 , o vetor u vai ser o vetor nulo, o que não é interessante. Então, para que eles sejam ortogonais, vamos ter que

a = 0

Logo, a afirmação está errada!

Passo 4

Por fim, a afirmação 3 fala que “A distância do ponto Q à reta r é igual a 13

Ou seja, queremos ver qual a distância entre o ponto Q = ( 2,1 , 3 ) e a reta r : X = - 1,1 , 1 + λ . 2 , a , - 3

O primeiro passo para encontrar distância entre ponto e reta é encontrar um ponto genérico da reta. Vamos chamar esse ponto de B .

B = - 1,1 , 1 + λ . 2 , a , - 3

B = - 1 + 2 λ , 1 + a . λ , 1 - 3 λ

Agora vamos encontrar o vetor Q B → :

Q B → = B - Q = - 1 + 2 λ - 2,1 + a λ - 1,1 - 3 λ - 3

Q B → = B - Q = 2 λ - 3 , a λ , - 3 λ - 2

Legal. O próximo passo é fazer Q B → ser ortogonal ao vetor diretor de r . Então ele deve ser ortogonal ao vetor 2 , a , - 3 . Para isso, o produto escalar entre eles deve ser 0 :

2 λ - 3 , a λ , - 3 λ - 2 . 2 , a , - 3 = 0

2 . 2 λ - 3 + a . a λ - 3 . - 3 λ - 2 = 0

4 λ - 6 + a 2 λ + 9 λ + 6 = 0

13 λ + a 2 λ = 0

13 + a 2 . λ = 0

Como 13 + a 2 nunca é igual a 0 (pois temos uma soma de números positivos), só podemos ter:

λ = 0

Se λ = 0 , o ponto da reta r mais próximo do ponto Q é

B = - 1 + 2 λ , 1 + a . λ , 1 - 3 λ = - 1,1 , 1

Agora é só calcularmos a distância entre B e Q = ( 2,1 , 3 ) :

d B , Q = 2 - - 1 2 + 1 - 1 2 + ( 3 - 1 ) ² = 3 2 + 2 2 = 9 + 4 = 13

Ufa! Então é isso mesmo! A afirmação está correta 😊 Portanto, a alternativa correta é a letra C, beleza?

Resposta

c) Apenas I e III são verdadeiras

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