Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Considere o plano π : x + 3 y - z = 3 e os pontos A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e P = ( 2 ,   8 ,   1 ) .

a) Escreva uma equação vetorial da reta definida por A e P .

b) Escreva a equação geral do plano α que contém A e P e é perpendicular a π .

c) Escreva uma equação vetorial da reta r que é a projeção ortogonal da reta definida por A e P no plano π .

d) Determine o ângulo entre a reta definida por A e P e o plano π .

Passo 1

a) Primeiro vamos encontrar A P → , que vai ser o vetor diretor da nossa reta:

A P → = P - A = 2 ,   8 ,   1 - ( 1 ,   1 ,   1 )

A P → = ( 1 ,   7 ,   0 )

Então a equação vetorial definida pelo ponto A e P vai ser

X = 2 ,   8 ,   1 + λ ( 1 ,   7 ,   0 )

Ouu

X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 1 ,   7 ,   0 )

Passo 2

b) Primeiramente, se o plano α deve ser perpendicular a π , ele vai ser paralelo ao vetor normal de π , ou seja, paralelo a n → = ( 1 ,   3 ,   - 1 ) . Além disso, se esse plano contém os pontos A e P , ele deve ser paralelo também ao vetor A P → .

Para que um ponto genérico X = ( x ,   y ,   z ) pertença ao plano α , o produto misto de A X → , A P → e n → deve ser 0:

x - 1 y - 1 z - 1 1 7 0 1 3 - 1 = 0

Calculando esse determinante, temos que

- 7 x + y - 4 z + 10 = 0

Que é a equação do plano α :)

Passo 3

c) Bom, a reta r é definida pelos pontos que são as projeções de A e P no plano π . Mas ei, observe que o ponto A já é pertencente ao plano π (pois 1 + 3 × 1 - 1 = 3 ) e também é pertencente ao plano α , como definimos no passo anterior.

Agora vamos usar uma figura pra pensar melhor:

Sabendo que o plano roxo é π e o plano rosa é α e lembrando que o ponto P pertence a α também, observe geometricamente que a projeção de P no plano π vai ser na intersecção de α com π , que é o mesmo lugar onde está o ponto A .

Logo, a reta r definida pelas projeções vai ser a intersecção dos planos α e π , dada pelo sistema:

- 7 x + y - 4 z = - 1 0 x + 3 y - z = 3

Multiplicando a equação de baixo por 4 e subtraindo as duas, vamos ter

- 11 x - 11 y = - 22

Então x = 2 - y . Substituindo isso na equação de baixo:

2 - y + 3 y - z = 3

z = - 1 + 2 y

Então o vetor diretor dessa reta vai ser dado por

( 2 - y ,   y ,   - 1 + 2 y )

2 ,   0 ,   - 1 + y ( - 1 ,   1 ,   2 )

Então a equação vetorial dessa reta vai ser dada por

r : X = 2 ,   0 ,   - 1 + λ ( - 1 ,   1 ,   2 )

Passo 4

d) Observe que como a reta r está contida no plano π (sim, ela ta na intersecção, mas não deixar de estar contida hehe), calcular o ângulo entre A P → e π é a mesma coisa que calcular o ângulo entre A P → e o vetor diretor de r !! A gente faz isso pela formulazinha do produto escalar:

cos ⁡ θ = | A P → . r → | A P → . | r → | = | - 1 + 7 | 50 . 6 = 6 10 3 = 3 5

Logo

θ = arccos ⁡ 3 5

Resposta

a) X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 1 ,   7 ,   0 )

b) - 7 x + y - 4 z + 10 = 0

c) r : X = 2 ,   0 ,   - 1 + λ ( - 1 ,   1 ,   2 )

d) θ = arccos ⁡ 3 5

Exercícios de Livros Relacionados

Renato inventou o seguinte método para calcular a medida angular θ entre uma reta r e um plano π : escolhe um vetor diretor r → da reta, um vetor n → normal ao plano, determina, em seguida, o vetor u
Sejam r → e s → , respectivamente, vetores diretores das retas r e s . Mostre que um plano π forma ângulos congruentes com essas retas se, e somente se, os comprimentos das projeções ortogonais de cad
Sejam P = ( 1 ,2 ,- 1 ) , Q a projeção ortogonal de R = ( - 1 ,- 1 ,- 2 ) sobre π : x + y + z + 1 = 0 e θ a medida angular entre a reta P Q e π . Calcule cos ⁡ θ .
Obtenha a medida angular em radianos entre a reata r e o plano π .e) r : x - 2 z = y + 2 z = 1π : 45 7 x + y + 2 z - 10 = 0
Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r e o plano π .b) r : x = y = z π : z = 0