Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Enunciado

Considere o plano π de equação x   +   y   + z   =   1 , e os pontos P   =   ( 1,1 , 2 )   e   Q   =   ( 2,2 , 3 / 2 )

Sejam P *   e   Q * as projeções ortogonais dos pontos P   e   Q sobre o plano π . Qual das seguintes alternativas contêm as equações da reta que passa por P *   e   Q * ?

  1. x = y = z - 1 - 2
  2. x - 1 2 = y - 1 4 = z 3
  3. x = 4 y = - 8 z
  4. 2 x = 3 y = - 4 z
  5. x + 1 = y - 2 =   2 z   -   4 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa questão é bem bacana!!!! Vamos resolvê-la

Nosso objetivo é construir a equação da reta que passa entre os pontos P *   e   Q * . Onde P *   e   Q * são as projeções ortogonais dos pontos P   e   Q sobre o plano π .

Eita, mas como vamos obter essas projeções???

Passo 2

Para podermos obter as retas que passam por P *   e   Q * , primeiro precisamos descobrir que são esses pontos.

Bem, P *   e   Q * são as projeções ortogonais dos pontos P   e   Q sobre o plano π . Já tem uma ideia de como vamos encontrar esses pontos?

Que tal se fizermos o seguinte processo. Pegamos o vetor perpendicular ao plano e definimos a reta gerada por esse vetor e que passa no ponto P   o u   Q , então nossa projeção ortogonal será o ponto que a reta intercepta o plano. Bacana né?

Vamos começar calculando o vetor normal ao plano.

Bem, dado um plano π 1 :   a x + b y + c z   =   d qualquer, seu vetor normal será:

( a , b , c )

Então o vetor perpendicular ao nosso plano é:

( 1,1 ,   1 )

Passo 3

Agora que sabemos que o vetor normal ao plano é:

( 1,1 ,   1 )

Podemos construir a reta que passa por P e tem esse vetor como vetor diretor.

r p =   ( 1,1 , 2 )   +   ( 1,1 , 1 ) t

De modo análogo, a reta que passa por Q e tem esse vetor como vetor diretor é:

r q =   ( 2,2 , 3 / 2 )   +   ( 1,1 , 1 ) t

Vamos encontrar P * por definição, esse ponto será a projeção ortogonal de P sobre π . Mas falamos nos passos anteriores que esse ponto será a interseção da reta r p com o plano π .

Para isso precisamos que:

r p =   ( 1,1 , 2 )   +   ( 1,1 , 1 ) t

=   ( 1 + t , 1 + t , 2 + t )

satisfaça a equação do plano

x   +   y   + z   =   1 .

Juntando as duas equações temos:

1 + t   + 1 + t + 2 + t   =   1

3 t =   - 3

t = - 1

Mas se t = - 1 nosso ponto P * é:

( 1 + t , 1 + t , 2 + t )

(fazendo t=-1)

P *   =   ( 0,0 , 1 )

Bacana né? Agora vamos encontrar Q *

(tem só um pouco de conta, kkkk)

Passo 4

Agora vamos calcular Q *

Vamos encontrar   Q * por definição, esse ponto será a projeção ortogonal de Q sobre π . Mas falamos nos passos anteriores que esse ponto será a interseção da reta r q com o plano π .

Para isso precisamos que:

r q =   ( 2,2 , 3 / 2 )   +   ( 1,1 , 1 ) t

=   ( 2 + t , 2 + t , 3 / 2 + t )

satisfaça a equação do plano

x   +   y   + z   =   1 .

Juntando as duas equações temos:

2 + t   + 2 + t + 3 / 2 + t   =   1

t =   - 3 / 2

Mas se t = - 3 / 2 nosso ponto Q * é:

( 2 + t , 2 + t , 3 / 2 + t )

(fazendo t=-3/2)

Q *   =   ( 0.5,0.5,0 )

Passo 5

Para finalizar, só precisamos achar a reta que passa por P *   e   Q * . Lembram como constrói essa reta?

A reta que passa por dois pontos A   e   B é dada por:

( A - B ) t + A

No nosso caso, temos:

( ( 0,0 , 1 )   -   ( 0.5,0.5,0 ) ) t   +   ( 0,0 , 1 )

(   - 0.5 , - 0.5,1 ) t   +   ( 0,0 , 1 )

(   - 0.5 t ,   - 0.5 t ,   t + 1 )

então temos que:

x = y   =   -   0.5 t

z =   - 2 y   + 1

⇒ z - 1 - 2 = y

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a)

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