Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Enunciado

Determinar o ângulo que a reta

r : x = 1 - 2 t y = - t z = 3 + t faz com o plano π : x + y - 5 = 0

Passo 1

Pela teoria sabemos que para encontrar o ângulo entre um plano e uma reta, precisamos do vetor diretor da reta E do vetor normal ao plano. Vamos retirar esses dados das equações que temos, então:

r → = - 2 ,   - 1 ,   1

n → = ( 1 ,   1 ,   0 )

A fórmula para calcular θ o ângulo entre o plano e a reta é:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → |

Passo 2

Antes de colocar tudo na fórmula, vamos calcular separadamente o módulo do produto escalar e o módulo dos vetores:

r → ∙ n → = - 2 ,   - 1 ,   1 ∙ 1 ,   1 ,   0 = | - 2 - 1 + 0 | = 3

r → = ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 6

n → = 1 2 + 1 2 = 2

Agora que já temos os valores só colocar na fórmula:

sin  ⁡ θ = r → ∙ n → r → | n → | → sin ⁡ θ = 3 6 × 2

sin ⁡ θ = 3 12 = 3 2 3

Multiplicando por 3 3 ,

sin ⁡ θ = 3 3 2 × 3 = 3 2

θ = 60 °

Se você preferir o resultado em radianos, então:

θ = π 3   r a d

Resposta

θ = 60 ° = π 3   r a d

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