Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 211-2.

Obtenha equações paramétricas da reta r , que passa pelo ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) , é paralela ao plano π 1 : x + 2 y - z = 0 , e forma com o plano π 2 : x - y + 2 z = 1 um ângulo de π 3 r a d .

Passo 1

Cada vez mais nossos exercício vão ficam mais interessantes!! Vamos ver como se faz esse??

Isso aí!! Quero ver entusiasmo!! Rsrs

O enunciado nos pede para escrevermos as equações paramétricas da reta r !! Mas, o que sabemos sobre ela??

Sabemos que ela passa pelo ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Que é paralela ao plano π 1 e que forma com o plano π 2 um ângulo de π 3 r a d .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos por partes!! O ponto P vai nos ajudar a escrever as equações paramétricas, pois para isso precisamos de um ponto que passa pela reta!! Então, o ponto temos!! Precisamos achar o vetor diretor da reta!!

Para isso, usaremos as outras duas informações que temos. Vamos começar com a informação sobre o paralelismo com o plano   π 1 .

Se a reta r é paralela ao plano π 1 , então isso significa que o vetor diretor de r   ( r ) é ortogonal ao vetor normal do plano   π 1   ( n 1 )   , ou seja:

r n 1 = 0

Então, se dissermos que r = ( a ,   b ,   c ) e sabemos que n 1 = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) retirado da equação geral do plano     π 1 , temos:

a ,   b ,   c 1 ,   2 ,   - 1 = 0 a + 2 b - c = 0 c = a + 2 b

Passo 3

Pronto, já temos uma relação!! Agora falta achar a segunda relação!! Essa acharemos por meio do que temos de informação sobre o plano π 2 .

Do plano π 2 temos que n 2 = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e que ele forma π 3 r a d com r . Então, temos a fórmula do ângulo entre reta e plano:

sin  θ = r   n 2 r |   n 2 |

Temos:

sin π 3 = 3 2

r   n 2 = a ,   b ,   c 1 ,   - 1 ,   2 = | a - b + 2 c |

r = a 2 + b 2 + c 2

n 2 = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 2 2 = 6

Colocando na fórmula temos:

sin  θ = r   n 2 r |   n 2 |   3 2 = a - b + 2 c 6 a 2 + b 2 + c 2

Do Passo 2, temos a relação c = a + 2 b , substituindo:

3 2 = a - b + 2 ( a + 2 b ) 6 a 2 + b 2 + ( a + 2 b ) 2

3 6 a 2 + b 2 + ( a + 2 b ) 2 = 2 a - b + 2 ( a + 2 b )

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

3.6 . a 2 + b 2 + a + 2 b 2 = 4 ( 3 a + 3 b ) 2

18 a 2 + b 2 + a 2 + 4 a b + 4 b 2 = 4 9 a 2 + 18 a b + 9 b 2

36 a 2 + 72 a b + 90 b 2 = 36 a 2 + 72 a b + 36 b 2

54 b 2 = 0 b = 0

Se b = 0 , pela relação do Passo 2 temos:

c = a + 2 b c = a

Logo, r = a ,   0 ,   a .

Passo 4

Escolhendo a = 1 ,

r = 1 ,   0 ,   1

Agora temos r = 1 ,   0 ,   1 e o ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Já podemos escrever a equação paramétrica da reta r :

r :   x = 1 + t y = 1 z = 1 + t

Ufa!!! Essa foi boa, mas longa hehe

Resposta

r :   x = 1 + t y = 1 z = 1 + t

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