Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

4) Calcule a integral

∫ γ y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y ,

Onde γ é a fronteira da região limitada pelas curvas y = x 2 e x = y 2 orientada positivamente.

Passo 1

Falaaa galerinha... beleza??

Vamos calcular essa integral feiosa, mas, como já disse, ela é feiosa, né? Então vamos ter que usar algum truque pra dar uma simplificada.

Poooo... a expressão “orientada positivamente” já faz a gente pensar um pouco no Teorema de Green.

Pra usar esse Teorema precisamos que:

- a curva que delimita a região seja fechada e orientada positivamente (olha aí...);

- as funções que estão acompanhadas de d x e d y tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas;

Daí podemos usar:

∫ C P   d x + Q   d y = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

No nosso caso C é γ , P   é y + e x e Q é 2 x + cos ⁡ y 2 .

Passo 2

Vamos esboçar a região delimitada pelas curvas y = x 2 e x = y 2 e ver se realmente é uma curva fechada:

Ohhh... é uma região fechada, sim.

Vamos aproveitar pra achar esses pontos de intersecção igualando as equação:

x = x 2

CUIDADO pra não achar só x = 0 , ta?? Joga pro outro lado e bota em evidência:

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

x = 0   o u   x - 1 = 0

Daí achamos:

x = 0 e y = 0

Ou

x = 1   e y = 0

Passo 3

Agora vamos verificar se as funções têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Para P = y + e x , temos:

∂ P ∂ y = 1

Para Q = 2 x + cos ⁡ y 2 , temos:

∂ Q ∂ x = 2

Vamos aproveitar esse passo pra já achar os limites de integração da integral dupla, beleza?

Olhando pra região que a gente desenho, repara que x varia de y 2 até y (se liga que x aumenta da esquerda pra direita, heim!?) e y varia de 0 até 1.

Já dá até pra ver que tudo vai ficar bem mais bonitinho, né?

Passo 4

Jogando tudo na equação:

∫ C P   d x + Q   d y = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ γ y + e x   d x + 2 x + cos ⁡ y 2   d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 y 2 - 1 d x d y

= ∫ 0 1 ∫ y 2 y 1 d x d y

Ufa... ficou lindíssimo pra resolver, né?

Resolvendo a integral dupla:

= ∫ 0 1 x y 2 y d y

= ∫ 0 1 y - y 2   d y

= y 2 2 - y 3 3 0 1

= 1 2 - 1 3

= 1 6

Prontinho. Acabamos essa. =)

Resposta

1 6

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