Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

Calcule

∫ γ F → ∙ n →   d t

Sendo dados: F → = y   j → , γ a fronteira do quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 1,1 ) e ( 0 ,   1 ) e n → a normal que aponta para fora do quadrado, sendo γ orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

A gente sabe que o que ele pede é o fluxo e, nesse caso, nem seria tão complicado tentar fazer pela definição, mas seriam quatro curvas e muitas contas, né?

Por sorte, temos o teorema da divergência no plano para nos ajudar.

Vamos lembrar o que vimos na teoria. O teorema nos diz, basicamente que:

∫ ∂ D F → ∙ n →   d t = ∬ D ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y   d x d y

Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla. Vamos ver se vale a pena mesmo!

Passo 2

O campo que a questão deu é escrito por:

F → = F 1 ,   F 2 = ( 0 , y )

Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:

∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = 0 + 1 = 1

O que é muito simples e nos ajuda muito no cálculo. Vamos ver como que vai ficar, então!

Passo 3

É só jogar na integral dupla:

∬ D ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y   d x d y = ∬ D 1   d x d y = Á r e a ( D )

O nosso domínio D é bem tranquilo, um quadrado de lado 1 , então temos que a área do quadrado é:

Á r e a D = 1 2 = 1

Ou seja:

∫ γ F → ∙ n →   d t = 1

Resposta

1

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