Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

21. Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ ∫ S x d y ∧ d z + y z e z 2 d z ∧ d x - e z 2 2 d x ∧ d y , onde S é a parte de z = x 2 + y 2 limitada por x 2 + y 2 = 1 , orientada com a normal unitária N → tal que N → · k → > 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial F → x , y , z = x , y z e z 2 , - e z 2 2 através de uma superfície S dada por z = x 2 + y 2 onde x 2 + y 2 = 1 é o limite de S .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Ao invés de calcularmos o vetor normal a S podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.

O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.

Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja F → um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada S . Ent��o, o fluxo de F → através de S é dado por:

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

A divergência do campo F → é definida por:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de F → através de S é igual à integral da divergência de F → no interior da região delimitada por S .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Porém, temos um problema, S não é uma superfície fechada. Se plotássemos o gráfico de S teríamos algo parecido com uma tigela.

Então para reverter esse problema, vamos adicionar uma tampa a essa tigela dada por z = 1

Assim, o teorema da divergência deve ser atualizado como

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = ∭ d i v F →   d V

Em que S 1 é a tampa que criamos.

Vamos começar calculando o divergente de F →

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = ∂ x ∂ x + ∂ y z e z 2 ∂ y + ∂ - e z 2 2 ∂ z

Assim, vemos que

∂ x ∂ x = 1

∂ y e z 2 ∂ y = z e z 2

∂ - e z 2 2 ∂ z = - z e z 2

Substituindo os resultados...

d i v F → = 1 + z e z 2 - z e z 2

d i v F → = 1

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Assim, o teorema da divergência será dado por

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = ∭ 1   d V

Perceba que a integral ∭ 1   d V resulta no volume do solido dado por S e S 1 .

Logo, podemos dizer que ∫ ∫ S F → · N →   d S será

∫ ∫ S F → · N →   d S = V o l u m e   d o   s ó l i d o - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1

Podemos calcular o volume do solido através da integral tripla

∫ y i y f ∫ x i x f ∫ z i z f 1 d z d x d y

Se olharmos de cima, vamos ver que S e S 1 projetam uma circunferência no plano x y , então podemos usar coordenadas polares para nos ajudar.

Fazendo x = r c o s θ , y = r s e n θ e x 2 + y 2 = r 2 , temos que os limites para z , r e θ serão

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 x 2 + y 2 = 1 → r 2 ≤ z ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

V o l u m e   d o   s ó l i d o = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 1 r d z d r d θ

Sacou? 😊

Passo 4

Integrando com relação a θ

∫ r d θ = r θ

∫ r 2 1 r = r 1 - r 2 = r - r 3

Substituindo na integral

V o l u m e   d o   s ó l i d o = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ

Agora com relação a r

∫ r - r 3 d r = r 2 2 - r 4 4

∫ 0 1 r - r 3 d r = 1 2 2 - 1 4 4 - 0 = 1 4

Substituindo na integral...

V o l u m e   d o   s ó l i d o = ∫ 0 2 π 1 4 d θ

Resultando em

V o l u m e   d o   s ó l i d o = ∫ 0 2 π 1 4 d θ = 2 π 4

V o l u m e   d o   s ó l i d o = π 2

Legal, né? 😁

Passo 5

Agora vamos olhar para a região S 1 para obter a integral ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1

S 1 se trata de um plano dado por z = 1 , assim, podemos ver que o vetor normal N 1 → é dado por

N 1 → = 0,0 , 1

Substituindo na integral

∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 → ∫ ∫ S 1 x , y z e z 2 , - e z 2 2 · 0,0 , 1   d S 1

∫ ∫ S 1 - e z 2 2   d S 1

Como z = 1 então

∫ ∫ S 1 - e 2   d S 1 = - e 2 ∫ ∫ S 1 d S 1  

Perceba que ∫ ∫ S 1 d S 1 é a área da superfície S 1 . Se plotássemos x 2 + y 2 = 1 no plano x y , teríamos uma circunferência de raio 1 , ou seja

Concorda comigo? 👀

Passo 6

Como a área de uma circunferência é π r 2 , então se o raio r = 1

∫ ∫ S 1 d S 1 = π

E, portanto.

∫ ∫ S 1 - e 2   d S 1 = - e 2 π

Substituindo no teorema da divergência, vamos obter que

∫ ∫ S F → · N →   d S = V o l u m e   d o   s ó l i d o - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1

∫ ∫ S F → · N →   d S = π 2 - - e 2 π

∫ ∫ S F → · N →   d S = π 2 + e π 2

Simplificando

∫ ∫ S F → · N →   d S = π 2 1 + e

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ ∫ S F → · N →   d S = π 2 1 + e

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