Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ F ∙ d S , F x , y , z = 3 x y 2 i + x e z j + z 3 k , S é a superfície do solido limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 1 e os planos x = - 1 e x = 2 .

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos calcular logo o divergente do campo:

∇ ∙ F = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z F z

∇ ∙ F = ∂ ∂ x 3 x 2 + ∂ ∂ y x e z + ∂ ∂ z z 3 = 3 y 2 + 3 z 2

Passo 2

A nossa região de integração é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas temos x = x   ; y = r cos ⁡ θ   ; z = r sin ⁡ θ . Assim os limites das variáveis são:

- 1 ≤ x ≤ 2

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

d V = r   d x d r d θ

Passo 3

Colocando tudo na integral,

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 ( 3 y 2 + 3 z 2 ) r d x d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 2 3 r 2 d x d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 [ 3 r 3 ] d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 r 3 d r d θ

= ∫ 0 2 π 9 r 4 4 0 1 d θ

= 9 π 2

Resposta

= 9 π 2

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