Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

21. Calcule as seguintes integrais:

(e) ∫ ∫ S x d y ∧ d z + y d z ∧ d x + z d x ∧ d y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , onde S é a parte de z - 3 2 = x 2 + y 2 com 0 ≤ z ≤ 3 , orientada com a normal unitária N → tal que N → · k → > 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter a integral da função vetorial

F → x , y , z = x , y , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

através de uma superfície S dada por z - 3 2 = x 2 + y 2 limitada entre 0 ≤ z ≤ 3 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Ao invés de calcularmos o vetor normal a S podemos aplicar o teorema da divergência pra resolver esse problema.

O teorema da divergência estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é a divergência desse campo em seu interior.

Matematicamente, o teorema da divergência pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja F → um campo vetorial definido em uma região do espaço delimitada por uma superfície fechada S . Então, o fluxo de F → através de S é dado por:

∫ ∫ F → · N →   d S = ∭ d i v F →   d V

A divergência do campo F → é definida por:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Assim, o teorema da divergência estabelece que o fluxo de F → através de S é igual à integral da divergência de F → no interior da região delimitada por S .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Como S não é uma superfície fechada, temos que adicionar algumas integrais de linha para fechar S .

S é dada por um cone circular

Então para fechar a região, temos que aplicar uma outra superfície S 1 na base de S , em z = 0 , ou seja

0 - 3 2 = x 2 + y 2 → x 2 + y 2 = 9

Uma circunferência de raio 3 .

Atualizando o teorema, adicionando a integral de linha de S 1

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = ∭ d i v F →   d V

Agora vamos calcular o divergente de F

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = ∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y + ∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z

Pela regra do quociente as derivadas são

∂ x x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ x = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ y x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ y = x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ z x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ z = x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

Logo

d i v F → = - 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F → = - 2 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 - 2 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F → = 0

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Dessa forma, a integral de linha de S é dada por

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = ∭ d i v F →   d V

∫ ∫ S F → · N →   d S + ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = 0

∫ ∫ S F → · N →   d S = - ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1

Como S 1 é uma superfície paralela ao plano x y e o vetor normal aponta para fora da superfície N 1 → será dado por

N 1 → = 0,0 , - 1

Aplicando na integral de S 1

∫ ∫ S 1 x , y , z x 2 + y 2 + z 2 3 2 · 0,0 , - 1   d S 1 → ∫ ∫ S 1 - z x 2 + y 2 + z 2 3 2   d S 1

Como estamos em z = 0 em S 1 então

∫ ∫ S 1 - 0 x 2 + y 2 3 2   d S 1 = 0

Assim, substituindo no teorema, temos que ∫ ∫ S 1 F → · N 1 →   d S 1 = 0 e, portanto...

∫ ∫ S F → · N →   d S = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ ∫ S F → · N →   d S = 0

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