Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

Seja o campo vetorial F → x , y , z = ( 2 x + y - 4 ,   3 y - z ,   2 z - 2 ) . Seja a superfície S definida por x 2 + y 2 + z 2 = 25 com z ≤ 3 . Determine a integral de fluxo do campo vetorial F → em relação a área S .

Passo 1

A região do plano z = 3 limitada por S será aqui chamada D , pelo teorema da Divergência, temos, pois:

∬ D F → ⋅ n →   d s + ∬ S F → ⋅ n →   d s = ∭ V ∇ ⋅ F → d v

Em D , cujo limite é x 2 + y 2 = 16 , temos   F → = ( 2 x + y - 4 ,   3 y - 3 ,   4 ) , com parametrização φ ( u , v ) = ( u cos ⁡ v , u sin ⁡ v , 3 ) . Assim:

∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v = i j k cos ⁡ v sin ⁡ v 0 - u sin ⁡ v u cos ⁡ v 0 = ( 0,0 , u )

Tal que

∬ D F → ⋅ n →   d s = ∬ D F → φ ⋅ ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v   d u d v = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 4 u   d u   d v =

= ∫ 0 2 π d v   ∫ 0 4 4 u   d u = 2 π 2 u 2 0 4 = 64 π

Passo 2

Enquanto a isso para calcular a integral volumétrica, temos que:

∇ ⋅ F → = 2 + 3 + 2 = 7

Logo, o princípio de Cavalieri permite escrever para raio r cilíndrico:

∭ V ∇ ⋅ F → d v = ∭ V 7 d v = 7 ∫ - 5 3 π r 2 d z = 7 π ∫ - 5 3 25 - z 2 d z = 7 π 25 z - z 3 3 - 5 3

= 7 π 66 + 250 3 = 3136 π 3

Passo 3

Por fim, podemos concluir que:

∬ S F → ⋅ n →   d s = ∭ V ∇ ⋅ F → d v - ∬ D F → ⋅ n →   d s = 3136 π 3 - 64 π = 2944 π 3

Resposta

2944 π 3

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