Integrais - Área entre Curvas
Teoria
Todo mundo quando faz Cálculo, se pergunta por que diachos estudamos integrais. Bom, além de ser um princípio conceitual super importante, para diversas áreas da engenharia, física e matemática, ela tem diversas aplicações práticas. Nessa página estaremos interessados em ir além de entender como elas podem nos dar a área sob funções, e buscar entender como com integrais conseguimos calcular área entre curvas.
Como já sabemos quando estamos calculando integrais definidas de funções que estão a cima do eixo

Acho que essa imagem, consegue te lembrar bem o que eu queria dizer com o parágrafo anterior. Mas e se eu quiser calcular a área de funções que estão abaixo do eixo

Acontece que quando estivermos trabalhando com a área de integrais delimitadas por curvas que estão abaixo do eixo
Olha só porque fazemos isso... Imagine que queremos calcular a área da função

Podemos perceber que nossos limites de integração, serão as raízes dessa função, que pelo gráfico podemos dizer serem
Resolvendo essa integral...
Ué? Mas como que minha área pode dar um valor negativo? Não faz sentido né? Por isso que temos que adicionar o sinal negativo na frente de integrais que calculem a área de funções que estão abaixo do eixo
Logo, para descobrir corretamente o valor dessa área:
Vamos fazer um exemplo introdutório sobre como trabalhar com esses sinais na hora de calcular a área de uma função, com nosso modelo Passo a Passo.
Vamos calcular a área englobada pela seguinte função, no intervalo
Passo 1
Primeiro vamos analisar o nosso exercício... Temos uma função de terceiro grau, então podemos assumir que ela tem no mínimo 3 raízes, e se todas forem reais, essa função cruza o eixo
Resolvendo a equação é possível, verificar que essas raízes são 0, 1 e 2. Logo o gráfico dessa função tem essa carinha:

Passo 2
Para descobrir a área, temos que calcular uma integral.
Show... Mas antes de sair calculando que nem um doido, observa que essa função, dentro do intervalo de

Passo 3
Nós sabemos que
Pronto, montamos nossa expressão para calcular a área total.
Passo 4
Agora o problema se resume em calcularmos essas duas integrais. Ambas são integrais polinomiais e são bem simples de resolver. Depois da atenção com os limites de integração, temos como resultado:
Cálculo é uma matéria que além de saber a Teoria, é muito importante que o aluno tenha o costume de praticar, com 5 exercícios de cada tópico, todo mundo consegue entender bem como resolver aquele tipo de questão. Com o tópico de área entre curvas, não é diferente, mas não se preocupe, no nosso site, você encontra resoluções Passo a Passo de questões em todos os tópicos, confere lá!
Aproveita e da um bizu nessa resolução em vídeo de uma questão da
- Determine a área da região R, onde:
é a região limitada pela curva , pelo eixo , e pelas retas e .
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF - Cálculo IIA - P1 Rodrigo Salomão 2012.2 – 1
Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de
E o eixo
Passo 1
Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo
Agora segue aqui comigo:
Então se
Repara que o denominador não pode zerar, e nele também temos uma raíz quadrada. Então a função não existe para
Passo 2
Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo
Passo 3
Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para
Bem, esse é o caso
Temos que fazer,
Substituindo na integral dada.
Passo 4
Agora, usando a substituição
Então a integral fica assim,
Voltando para
Passo 5
Usando o triângulo retângulo para converter o
Então temos que
Passo 6
Agora vamos aplicar os limites de integração:
O que vai dar:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UERJ - Cálculo 2 - Lista de Integrais Professora Renata - 32d
Determine a área da região
Passo 1
Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o
Olha, o
Passo 2
Olha lá uma parte em que
Passo 3
Primeiro vamos analisar a área
Passo 4
Agora para a área
Passo 5
Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Calcule a área delimitada entre as curvas:
Passo 1
Vamos lá desenhando a região primeiro. Vou começar pelo
Bom, esse é o desenho base desse gráfico, que tem forma de hipérbole. Agora vou pensar em como encaixar os outros. Ora, tenho que ver aonde eles se interceptam! Primeiro o
Agora, eu vou botar o outro, o
Além de que ela toca a
Então essa área entre os
Então, a integral está rolando de
Passo 2
Agora vamos integrar!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Calcule a área delimitada entre as curvas:
Passo 1
Começamos desenhando as duas parábolas:
Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:
Bom, se eu adicionar ainda o gráfico
Já tenho ali a minha área definida, então.
Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:
de
de
Passo 2
Integrando uma de cada vez:
Passo 3
Agora a segunda parte
Passo 4
Juntando tudo
Resposta
Exercício Resolvido #5
PUC-RJ - Cálculo B - P1 2015.1 - 3
Considere a região
Passo 1
Conluímos, assim, que a região
A região
Passo 2
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração própria
Calcule a área delimitada entre as curvas:
Passo 1
Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.
Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.
Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua
Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área
Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.
Bom, aquele
Passo 2
Bom, vamos integrar.
PARA TUDO!
Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:
Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:
Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:
Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFRJ - Cálculo 1 - P2 2012.1 – 2
Seja
Passo 1
Ora, ora. Problema interessante...
Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com concavidade para baixo). Essa curva e o eixo
Queremos achar a equação de uma reta que passa pela origem.
Uma reta vai ser
Se ela passa na origem
No fundo, queremos calcular
Passo 2
Vamos esboçar o que o enunciado nos diz:
No desenho, foi desenhado uma reta genérica que corta
OBS: Em problemas onde ainda não sabemos a equação de alguma curva, é muito útil esboçarmos uma situação genérica para essa curva e começar a fazer os cálculos a partir daí.
Igualando as equações, podemos achar os pontos de interseção:
Logo,
Temos duas formas de prosseguir agora:
1. Dizendo que a área acima da reta é metade da área compreendida entre a parábola e o eixo
2. Dizendo que a área acima da reta é igual a área abaixo dela.
Vamos seguir a forma 1, já que a área abaixo da reta é mais difícil de ser calculada (ou teríamos que integrar em relação a
Para isso é válido saber que a parábola intercepta
Passo 3
Igualando a área acima da reta à metade da área abaixo da parábola, temos:
Assim, chegamos a uma equação para
Logo, a equação da reta é:
Resposta
Exercício Resolvido #8
UFRJ - Cálculo 1 - P2 2011.2 – 3
Calcule a área da região limitada pelas curvas
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas:
O enunciado nos pede para esboçar a área limitada por essas curvas e calculá-la.
Para esboçar as curvas, vamos, primeiro entender melhor as funções dadas:
Isso é uma hipérbole. O gráfico vai ser algo assim
Mas repara que o
Passo 2
Agora vamos fazer
Ela vai ficar
Agora que já podemos esboçar as funções, o próximo passo é igualar as suas equações para acharmos os pontos que elas se interceptam.
Depois, calcularemos a área da região limitada por elas através de integrais.
A nossa área vai ficar então
Entre o verde e o rosa.
Passo 3
Igualando as funções:
Esboço da região