Integrais - Área entre Curvas

Teoria Completa

Todo mundo quando faz Cálculo, se pergunta por que diachos estudamos integrais. Bom, além de ser um princípio conceitual super importante, para diversas áreas da engenharia, física e matemática, ela tem diversas aplicações práticas. Nessa página estaremos interessados em ir além de entender como elas podem nos dar a área sob funções, e buscar entender como com integrais conseguimos calcular área entre curvas.

Como já sabemos quando estamos calculando integrais definidas de funções que estão a cima do eixo $x$, estamos calculando o somatório de "infinitas" parcelas que quando adicionados nos dão a área abaixo dessa curva:

$$Á\text{rea}=\int_a^bf(x)$$

Acho que essa imagem, consegue te lembrar bem o que eu queria dizer com o parágrafo anterior. Mas e se eu quiser calcular a área de funções que estão abaixo do eixo $x$?

Acontece que quando estivermos trabalhando com a área de integrais delimitadas por curvas que estão abaixo do eixo $x$, precisamos inserir um sinal negativo na frente da integral:

$$Á\text{rea}=-\int_a^bf(x)$$

Olha só porque fazemos isso... Imagine que queremos calcular a área da função $f(x)=x^2-4x$. Essa é a função de uma parábola que tem concavidade virada para cima, então a parte que desejamos calcular a área está na parte negativa de $y$, dá uma olhada no gráfico:

Podemos perceber que nossos limites de integração, serão as raízes dessa função, que pelo gráfico podemos dizer serem $x_1=0$ e $x_2=4$, logo para cálcular a área teríamos que fazer a integral:

$$\int_0^4 x^2-4x\text{ }dx$$

Resolvendo essa integral...

$$\Big[\frac{x^3}{3}-\left.\frac{4x^2}{2}\Big]\right|_{x_1=0}^{x^2=4}=\Big[\frac{64}{3}-\frac{64}{2}\Big]-\Big[0\Big]=-10,67$$

Ué? Mas como que minha área pode dar um valor negativo? Não faz sentido né? Por isso que temos que adicionar o sinal negativo na frente de integrais que calculem a área de funções que estão abaixo do eixo $x$

Logo, para descobrir corretamente o valor dessa área:

$$A=-\int_0^4 x^2-4x \text{ }dx=10,67$$

Vamos fazer um exemplo introdutório sobre como trabalhar com esses sinais na hora de calcular a área de uma função, com nosso modelo Passo a Passo.

Vamos calcular a área englobada pela seguinte função, no intervalo $[0,2]$:

$$f(x)=x^3-3x^2+2x$$

Passo 1

Primeiro vamos analisar o nosso exercício... Temos uma função de terceiro grau, então podemos assumir que ela tem no mínimo 3 raízes, e se todas forem reais, essa função cruza o eixo $x$ pelo menos 3 vezes.

Resolvendo a equação é possível, verificar que essas raízes são 0, 1 e 2. Logo o gráfico dessa função tem essa carinha:

Passo 2

Para descobrir a área, temos que calcular uma integral.

$$A_t=\int_0^2 f(x)$$

Show... Mas antes de sair calculando que nem um doido, observa que essa função, dentro do intervalo de $[0,2]$ está parte sobre o eixo $x$, e parte sobre o eixo $x$. Então para a calcular a área dentro deste intervalo, teremos que decompor a nossa integral original, em duas integrais cada uma representando uma das áreas, uma delas que está na parte positiva de $y$ e a outra que está na parte negativa de $y$:

Passo 3

Nós sabemos que $A_t=A_1+A_2$, mas muita atenção para o sinal que vamos colocar na segunda integral, lembrando que ela está na parte debaixo do eixo $x$:

$$A_t=\int_0^1 x^3-3x^2+2x\text{ }dx -\int_1^2 x^3-3x^2+2x\text{ }dx$$

Pronto, montamos nossa expressão para calcular a área total.

Passo 4

Agora o problema se resume em calcularmos essas duas integrais. Ambas são integrais polinomiais e são bem simples de resolver. Depois da atenção com os limites de integração, temos como resultado:

$$A_t=\frac{1}{2}$$

Cálculo é uma matéria que além de saber a Teoria, é muito importante que o aluno tenha o costume de praticar, com 5 exercícios de cada tópico, todo mundo consegue entender bem como resolver aquele tipo de questão. Com o tópico de área entre curvas, não é diferente, mas não se preocupe, no nosso site, você encontra resoluções Passo a Passo de questões em todos os tópicos, confere lá!

Aproveita e da um bizu nessa resolução em vídeo de uma questão da $UERJ$:

  • Determine a área da região R, onde:
    • $R$ é a região limitada pela curva $y=x^3_x$, pelo eixo $x$, e pelas retas $x=-2$ e $x=-1$.
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Exercício Resolvido #1

UFF - Cálculo IIA - P1 Rodrigo Salomão 2012.2 – 1

Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

f x = x 3 1 - x 2

E o eixo x , com x ∈ 0 , 1 2

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Passo 1

Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo x e onde está abaixo! O legal é tentar esboçar o gráfico. Aqui é um pouco complicado fazer isso, mas sabemos que essa função só se anula onde o numerador for 0, ou seja, x = 0 .

Agora segue aqui comigo:

x < 0 → x 3 < 0

Então se x for negativo, f x < 0 . Agora se x for positivo, então f x > 0 . Então a gente pode pensar em algo assim:

Repara que o denominador não pode zerar, e nele também temos uma raíz quadrada. Então a função não existe para x ≥ 1 . Porém como nosso limite de integração superior é ½ , não vamos nos preocupar com isso.

Passo 2

Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo x , então vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ 0 1 2 f x d x = ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x

Passo 3

Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para x e aplicar os limites de integração:

∫ x 3 1 - x 2 d x

Bem, esse é o caso a 2 - x 2 , a = 1 .

Temos que fazer,

x = a ⋅ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral dada.

∫ s e n 3 θ 1 -   s e n 2   θ   cos ⁡ θ d θ

= ∫ s e n 3 θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ s e n 3 θ   d θ = ∫ s e n θ   s e n 2 θ   d θ

= ∫ s e n θ   ( 1 - cos 2 ⁡ θ )   d θ

Passo 4

Agora, usando a substituição

u = cos ⁡ θ

d u = sen ⁡ θ d θ

Então a integral fica assim,

= -   ∫ 1 - u 2 d u  

= - u - u 3 3 = u 3 3 - u  

Voltando para θ :

∫ s e n 3 θ   d θ = cos 3 ⁡ θ 3 - c o s θ

Passo 5

Usando o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial:

c o s θ = 1 - x 2 a = 1 - x 2

Então temos que

∫ x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2

Passo 6

Agora vamos aplicar os limites de integração:

A = ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2     0 1 2

A = 1 - 1 4 3 3 - 1 - 1 4 - 1 - 0 3 3 + 1 - 0

O que vai dar:

A = 3 2 3 3 - 3 2 - 1 3 + 1

A = 3 3 8 3 - 3 2 + 2 3 = 3 8 - 4 3 8 + 2 3

⇒ A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Resposta

A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Exercício Resolvido #2

UERJ - Cálculo 2 - Lista de Integrais Professora Renata - 32d

Determine a área da região R , onde:

R é a região limitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 1 .

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Passo 1

Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o x em evidência:

y = x ( x 2 + 1 )

Olha, o x tem raiz em 0 . Já o x 2 + 1 não tem nenhuma raiz e é sempre positivo. Ou seja, ao que parece essa função do terceiro grau só tem raiz em 0 e é negativa quando x é negativo e positiva quando ele é positivo. Essas informações já são suficientes para esboçar algo assim:

Passo 2

Olha lá uma parte em que y está acima do eixo x e outra que está abaixo. Então o que faremos? Vamos separar em duas regiões! A primeira está à esquerda do eixo y e vamos chamar de A 1 e a segunda, que está a direita, vamos chamar de A 2 . Portanto,

A T O T = A 1 + A 2

Passo 3

Primeiro vamos analisar a área A 1 . Nessa área y é menor que 0, então vamos fazer

A 1 = - ∫ - 2 0 y d x = - ∫ - 2 0 x 3 + x d x

A 1 = - x 4 4 + x 2 2 - 2 0 = - 2 4 4 + - 2 2 2 = 6

Passo 4

Agora para a área A 2 aquela que está à direita do eixo y , temos que a função é positiva. Então,

A 2 = ∫ 0 1 y d x = ∫ 0 1 x 3 + x d x

A 2 = x 4 4 + x 2 2 0 1 = 1 4 4 + 1 2 2 = 3 4

Passo 5

Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja

A T O T = A 1 + A 2 = 6 + 3 4 = 27 4

Resposta

A T O T = 27 4   u . a

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 x         ;           y = x           ;           y = x 4           ;           x > 0

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Passo 1

Vamos lá desenhando a região primeiro. Vou começar pelo y = 1 / x :

Bom, esse é o desenho base desse gráfico, que tem forma de hipérbole. Agora vou pensar em como encaixar os outros. Ora, tenho que ver aonde eles se interceptam! Primeiro o y = x :

y = x   vermelho         ;           y = 1 x   (azul)

x = 1 x       →           x 2 = 1       →           x = ± 1

Agora, eu vou botar o outro, o y = x / 4 :

y = x 4 verde         ;           y = 1 x (azul)

x 4 = 1 x       →           x 2 = 4       →           x = ± 2

Além de que ela toca a y = x quando x = 0 :

y = x   (vermelho)         ;           y = x 4 (verde)

x = x 4       →         3 x 4 = 0     →           x = 0

Então essa área entre os 3 gráficos está aí marcada com A . Lembrando que até teria uma outra área ali embaixo entre os gráficos, só que o cara especificou que x > 0 .

Então, a integral está rolando de 0 até 2 , sendo que até o 1 nós temos vermelho por cima e verde por baixo e a partir daí temos azul em cima e verde embaixo, ou seja:

∫ a b f cima - f baixo d x = ∫ 0 1 f Vermelho - f verde d x + ∫ 1 2 f azul - f verde d x

A = ∫ 0 1 x - x 4 d x + ∫ 1 2 1 x - x 4 d x

Passo 2

Agora vamos integrar!

∫ 0 1 x - x 4 d x = ∫ 0 1 3 x 4 d x = 3 x 2 8 [ 1 0 = 3 8

∫ 1 2 1 x - x 4 d x = ln ⁡ x - x 2 8 [ 2 1 = ln ⁡ 2 - 3 8

∫ 0 1 x - x 4 d x + ∫ 1 2 1 x - x 4 d x = 3 8 + ln ⁡ 2 - 3 8 = ln ⁡ 2

Resposta

A = ln ⁡ 2

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 - x 2           ;           y = 1 + x 2           ;           y = - 3 x 2 + 2             ;         x = 1

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Passo 1

Começamos desenhando as duas parábolas:

Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:

  y = 1 + x 2 = - 3 x 2 + 2

x 2 + 3 x 2 - 1 = 0

x + 2 x - 1 2 = 0       →           x = - 2 ; x = 1 / 2

Bom, se eu adicionar ainda o gráfico x = 1 uma vertical paralela ao eixo y passando em x = 1 :

Já tenho ali a minha área definida, então.

Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:

de 0 até 1 / 2 eu tenho a parábola de cima sobre a parábola de baixo

de 1 / 2 até 1 tenho a reta não vertical em cima da parábola de baixo. Assim:

A = ∫ a b f cima - f baixo d x

A = ∫ 0 1 / 2 f parábola de cima - f parábola de baixo d x + ∫ 1 / 2 1 f reta não vertical - f parábola de baixo d x

A = ∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x

Passo 2

Integrando uma de cada vez:

∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 2 2 x 2 d x = 2 x 3 3 0 1 / 2 = 1 12

Passo 3

Agora a segunda parte

∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 1 + x 2 d x = - 3 x 2 4 + x + x 3 3 1 / 2 1

= - 3 / 4 + 1 + 1 3 - - 3 16 + 1 2 + 1 24 = 7 12 - 17 48 = 11 48

Passo 4

Juntando tudo

∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = 1 12 + 11 48 = 15 48 = 5 16

Resposta

A = 5 16

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2015.1 - 3

Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

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Passo 1

( a ) Para esboçar vamos primeiro reparar que um gráfico é x 3 , que vem de - ∞ para x < 0 e depois explode para + ∞ , e o outro é 2 x - x 2 = x ( 2 - x ) , que tem raízes em 0 e 2 e tem concavidade para baixo, já que o termo que multiplica o x 2 é negativo. Vamos analisar a interseção dos gráficos:

x 3 = 2 x - x 2

x 3 + x 2 - 2 x = 0

x x 2 + x - 2 = 0

x x + 2 x - 1 = 0

x = - 2 ; x = 0 ; x = 1

Conluímos, assim, que a região R será dividida em dois pedaços, um de - 2 a 0 e outro de 0 até 1 . Vamos ao esboço:

A região R está pintada de verde.

Passo 2

( b ) Para calcular a área devemos montar uma integral com a diferença entre a função mais alta para a mais baixa. No intervalo [ - 2,0 ] a maior é a vermelha ( x 3 ) , em [ 0,1 ] a mais alta é a azul ( 2 x - x 2 ) :

A = ∫ - 2 0 x 3 - 2 x - x 2 d x + ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x

= x 4 4 - x 2 + x 3 3 - 2 0 + x 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1

0 4 - 0 + 0 3 - 16 4 - 4 + - 8 3 + 1 - 1 3 - 1 4 + 0 - 0 3 - 0 4

= 8 3 + 5 12

= 32 + 5 12

= 37 12

Resposta

a

b   A = 37 12   u n i d a d e s   d e   á r e a

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = cossec 2 ⁡ x           ;           y = 2 + cotg 2 ⁡ x           ;           1 ≤ x ≤ 2

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Passo 1

Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.

Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.

Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua f cima e outro para ser sua f baixo .

Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área A ou em - A , se tiver escolhido a ordem contrária.

Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.

Bom, aquele 2 me faz parecer que essa é a função maior, então vou tentar colocar ela como f cima , mas tanto faz:

∫ a b [ f cima - f baixo ] d x = ∫ 1 2 [ 2 + cotg 2 ⁡ x - cossec 2 ⁡ x ] d x

Passo 2

Bom, vamos integrar.

∫ 1 2 [ 2 + cotg 2 ⁡ x - cossec 2 ⁡ x ] d x

PARA TUDO!

Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:

1 + cotg 2 ⁡ x = cossec 2 ⁡ x

Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:

∫ 1 2 [ 1 + ( 1 + cotg 2 ⁡ x ) - cossec 2 ⁡ x ] d x = ∫ 1 2 [ 1 + ( cossec 2 ⁡ x ) - cossec 2 ⁡ x ] d x = ∫ 1 2 [ 1 ] d x

Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:

∫ 1 2 [ 1 ] d x = 2 - 1 = 1

Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio 1 , já que é um valor positivo).

Resposta

A = 1

Exercício Resolvido #7

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2012.1 – 2

Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

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Passo 1

Ora, ora. Problema interessante...

Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com c