Área entre Curvas

Resumo Completo

Área entre curva e eixo x

Vamos tentar resolver o problema de calcular a área sob uma curva e o eixo x , como na figura abaixo:

Se a área hachurada formasse um polígono bonitinho, como um retângulo, poderíamos usar a fórmula da área dele para calcular o resultado.

Não é isso que acontece, mas ainda assim podemos chegar perto usando vários retângulos para aproximar a área do problema:

A altura de cada retângulo será o valor de f x no ponto médio e a base será o comprimento do intervalo divido pela quantidade de retângulos que temos, que podemos chamar essa base Δ x . Assim, a área aproximada será a soma da área de cada retângulo:

A f x 1 - Δ x + f x 2 - Δ x + + f x 2 - Δ x + = i = 1 n f x i - Δ x

Se tivermos um número muito grande de retângulos ( n ), teremos exatamente a área que queremos: A = lim n i = 1 n f x i - Δ x

Esse limite meio bizarro nada mais é que do que a integral da função nesse intervalo:

A = a b f x d x  

Assim, para f x = x 2 no intervalo 0,1 , por exemplo:

A = 0 1 x 2 d x = 1 3 u . a

É importante deixar u . a . no final da integral quando o problema não dá nenhuma unidade. Isso, porque u . a . indica “unidade de área”, já que a área não é adimensional.

E quando a função for negativa?

Quando a função for negativa, a altura de cada um dos retângulos que usamos na dedução não será mais f x - , mas sim - f x - , como na figura abaixo:

Isso faz com que a área seja:

A = - a b f x d x  

Como temos essa diferença de sinal para quando a função é negativa, antes de sair integrando sem dó, precisamos determinar os intervalos onde a função é negativa e onde é positiva e então separar em uma integral para cada intervalo!

Vejamos um exemplo! Vamos calcular a área entre a curva y = f x e o eixo x , com

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x

A primeira coisa a fazer então é determinar os limites de integração. O problema não deu o intervalo de integração, então ele provavelmente está nas raízes da função. Vamos calculá-las então:

x 3 -   3 x 2 +   2 x = x x 2 -   3 x + 2 =   x x - 1 x - 2 =   0

As 3 raízes são 0 ,   1 e 2 . Estudando o sinal de f , dá para tirar um esboço do gráfico dela:

A função muda de sinal, então vamos separar a área em duas: A 1 , no intervalo 0 ,   1 , onde a função é positiva, e A 2 , em 1 ,   2 , onde ela é negativa. Daí vamos ter:

A = A 1 + A 2

A = 0 1 x 3 -   3 x 2 +   2 x d x - 1 2 x 3 -   3 x 2 +   2 x d x = 1 2 u . a .

Simetria

Agora digamos que a gente quer calcular a área limitada por y = - x 2 + 1 e o eixo x . Se esboçarmos a função, temos que:

Está vendo que a área A 1 é igual a A 2 ? Então, basta calcular só um lado e multiplicar por dois:

A T O T = A 1 + A 2 = 2 A 1

Portanto, podemos determinar a área calculando

A = 2 0 1 - x 2 + 1 d x

Sempre que tiver alguma simetria assim, você pode integrar só metade do intervalo e multiplicar por 2 no final!

Essa simetria pode simplificar bastante as contas quando a função mudar de sinal. Por exemplo, para calcular a área entre a curva y = x de x = - 1 a x = 1 :

Basta fazer:

A T O T = 2 A 2 = 2 0 1 x d x

Assim não precisou nem separar em duas integrais ;)

Área entre curva e eixo y

Às vezes podemos ter x em função de y , e querer calcular a área entre o gráfico dessa função e o eixo y :

A definição é a mesma! Se x = g y , então:

A = c d g y d y

Da mesma forma que anteriormente, isso vale para os intervalos em que g ( y ) é positiva, isto é, quando g ( y ) está à direita do eixo y .

Nos intervalos em que g y é negativa, isto é, está à esquerda do eixo y , basta inverter o sinal:

A = - c d g y d y

Área entre Curvas Quaisquer

Vamos calcular a área hachurada na figura:

Ela pode ser calculada como uma diferença de áreas: a área embaixo da g menos a área embaixo da f , concorda? Bom, daí eu posso concluir:

A = a b g ( x ) d x - a b f x d x = a b [ g x - f x ] d x

Ou seja, basta fazer a integral da maior menos a menor.

Limites de Integração Desconhecidos

O problema é que tem casos em que pedem para calcular a área limitada entre duas curvas, mas não dão os limites de integração a e b .

Basta ver onde as funções se interceptam, fazendo:

f x = g ( x )

No caso da figura, iremos achar dois x . O menor vai ser a , e o maior vai ser b .

A boa também é fazer um esboço, pra visualizar qual função está em cima e qual está embaixo.

Depois é só seguir o procedimento normal:

a b [ f cima - f baixo ] d x

Divisão em intervalos diferentes

Em alguns casos mais complicados, teremos que dividir a área entre as curvas em duas ou mais áreas e calcular separadamente.

Por exemplo, nesse gráfico aí embaixo as funções se cruzam:

Percebe que no intervalo [ a , c ] a função g ( x ) está em cima e a função f ( x ) está embaixo? E no intervalo [ c , b ] ocorre o inverso: f ( x ) passa a ficar em cima de g ( x ) .

Então teremos:

A = a c g x - f x d x + c b f x - g x d x

Beleza??

Integrando em Relação a y

Da mesma forma, podemos calcular a área entre curvas definidas em função de y :

A diferença é que agora não integramos a função de cima menos a de baixo, e sim a função da direita menos a da esquerda:

A = c d g y - f y d y

Resumão

Segue um passo a passo maroto para problemas de áreas entre curvas:

1. Se os limites de integração não forem dados, iguale as equações das curvas e determine os pontos de interseção entre elas.

2. Esboce a figura e identifique a área a ser calculada.

2. Se necessário, divida a área em duas ou mais áreas.

3. Aplique a fórmula para cada área:

a b [ f cima - f baixo ] d x       ( em relação a   x )

Ou

a b [ f direita - f esquerda ] d y       ( em relação a   y )

Pronto! Agora você já está pronto para se aventurar nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFF - Cálculo IIA - P1 Rodrigo Salomão 2012.2 – 1

Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

f x = x 3 1 - x 2

E o eixo x , com x 0 , 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo x e onde está abaixo! O legal é tentar esboçar o gráfico. Aqui é um pouco complicado fazer isso, mas sabemos que essa função só se anula onde o numerador for 0, ou seja, x = 0 .

Agora segue aqui comigo:

x < 0 x 3 < 0

Então se x for negativo, f x < 0 . Agora se x for positivo, então f x > 0 . Então a gente pode pensar em algo assim:

Passo 2

Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo x , então vamos usar a seguinte fórmula:

A = 0 1 2 f x d x = 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x

Passo 3

Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para x e aplicar os limites de integração:

x 3 1 - x 2 d x

Bem, esse é o caso a 2 - x 2 , a = 1 .

Temos que fazer x = a sen θ = sen θ

d x = cos θ d θ

1 -   x 2 =   1 -   sen θ 2 =   1 -   s e n 2   θ = cos 2 θ = c o s θ

Substituindo na integral dada.

s e n 3 θ cos θ cos θ d θ

= s e n 3 θ   d θ = s e n θ   s e n 2 θ   d θ

= s e n θ   ( 1 - cos 2 θ )   d θ

Passo 4

Agora, usando a substituição u = cos θ

= -   1 - u 2 d u  

= - u - u 3 3 = u 3 3 - u  

Voltando para θ :

s e n 3 θ   d θ = cos 3 θ 3 - c o s θ

Passo 5

Usando o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial:

c o s θ = 1 - x 2 a = 1 - x 2

Então temos que

x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2

Passo 6

Agora vamos aplicar os limites de integração:

A = 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2     0 1 2

A = 1 - 1 4 3 3 - 1 - 1 4 - 1 - 0 3 3 + 1 - 0

O que vai dar:

A = 3 2 3 3 - 3 2 - 1 3 + 1

A = 3 3 8 3 - 3 2 + 2 3 = 3 8 - 4 3 8 + 2 3

A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Resposta

A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UERJ - Cálculo 2 - Lista de Integrais Professora Renata - 32d

Determine a área da região R , onde:

R é a região limitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o x em evidência:

y = x ( x 2 + 1 )

Olha, o x tem raiz em 0 . Já o x 2 + 1 não tem nenhuma raiz e é sempre positivo. Ou seja, ao que parece essa função do terceiro grau só tem raiz em 0 e é negativa quando x é negativo e positiva quando ele é positivo. Essas informações já são suficientes para esboçar algo assim:

Passo 2

Olha lá uma parte em que y está acima do eixo x e outra que está abaixo. Então o que faremos? Vamos separar em duas regiões! A primeira está à esquerda do eixo y e vamos chamar de A 1 e a segunda, que está a direita, vamos chamar de A 2 . Portanto,

A T O T = A 1 + A 2

Passo 3

Primeiro vamos analisar a área A 1 . Nessa área y é menor que 0, então vamos fazer

A 1 = - - 2 0 y d x = - - 2 0 x 3 + x d x

A 1 = - x 4 4 + x 2 2 - 2 0 = - 2 4 4 + - 2 2 2 = 6

Passo 4

Agora para a área A 2 aquela que está à direita do eixo y , temos que a função é positiva. Então,

A 2 = 0 1 y d x = 0 1 x 3 + x d x

A 2 = x 4 4 + x 2 2 0 1 = 1 4 4 + 1 2 2 = 3 4

Passo 5

Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja

A T O T = A 1 + A 2 = 6 + 3 4 = 27 4

Resposta

A T O T = 27 4

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 x         ;           y = x           ;           y = x 4           ;           x > 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá desenhando a região primeiro. Vou começar pelo y = 1 / x :

Bom, esse é o desenho base desse gráfico, que tem forma de hipérbole. Agora vou pensar em como encaixar os outros. Ora, tenho que ver aonde eles se interceptam! Primeiro o y = x :

y = x   vermelho         ;           y = 1 x   (azul)

x = 1 x                 x 2 = 1                 x = ± 1

Agora, eu vou botar o outro, o y = x / 4 :

y = x 4 verde         ;           y = 1 x (azul)

x 4 = 1 x                 x 2 = 4                 x = ± 2

Além de que ela toca a y = x quando x = 0 :

y = x   (vermelho)         ;           y = x 4 (verde)

x = x 4               3 x 4 = 0               x = 0

Então essa área entre os 3 gráficos está aí marcada com A . Lembrando que até teria uma outra área ali embaixo entre os gráficos, só que o cara especificou que x > 0 .

Então, a integral está rolando de 0 até 2 , sendo que até o 1 nós temos vermelho por cima e verde por baixo e a partir daí temos azul em cima e verde embaixo, ou seja:

a b f cima - f baixo d x = 0 1 f Vermelho - f verde d x + 1 2 f azul - f verde d x

A = 0 1 x - x 4 d x + 1 2 1 x - x 4 d x

Passo 2

Agora vamos integrar!

0 1 x - x 4 d x = 0 1 3 x 4 d x = 3 x 2 8 [ 1 0 = 3 8

1 2 1 x - x 4 d x = ln x - x 2 8 [ 2 1 = ln 2 - 3 8

0 1 x - x 4 d x + 1 2 1 x - x 4 d x = 3 8 + ln 2 - 3 8 = ln 2

Resposta

A = ln 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 - x 2           ;           y = 1 + x 2           ;           y = - 3 x 2 + 2             ;         x = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começamos desenhando as duas parábolas:

Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:

  y = 1 + x 2 = - 3 x 2 + 2

x 2 + 3 x 2 - 1 = 0

x + 2 x - 1 2 = 0                 x = - 2 ; x = 1 / 2

Bom, se eu adicionar ainda o gráfico x = 1 uma vertical paralela ao eixo y passando em x = 1 :

Já tenho ali a minha área definida, então.

Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:

de 0 até 1 / 2 eu tenho a parábola de cima sobre a parábola de baixo

de 1 / 2 até 1 tenho a reta não vertical em cima da parábola de baixo. Assim:

A = a b f cima - f baixo d x

A = 0 1 / 2 f parábola de cima - f parábola de baixo d x + 1 / 2 1 f reta não vertical - f parábola de baixo d x

A = 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x

Passo 2

Integrando uma de cada vez:

0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x = 0 1 2 2 x 2 d x = 2 x 3 3 0 1 / 2 = 1 12

Passo 3

Agora a segunda parte

1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = 1 2 1 - 3 x 2 + 1 + x 2 d x = - 3 x 2 4 + x + x 3 3 1 / 2 1

= - 3 / 4 + 1 + 1 3 - - 3 16 + 1 2 + 1 24 = 7 12 - 17 48 = 11 48

Passo 4

Juntando tudo

0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = 1 12 + 11 48 = 15 48 = 5 16

Resposta

A = 5 16

Exercício Resolvido #5

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2015.1 - 3

Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

( a ) Para esboçar vamos primeiro reparar que um gráfico é x 3 , que vem de - para x < 0 e depois explode para + , e o outro é 2 x - x 2 = x ( 2 - x ) , que tem raízes em 0 e 2 e tem concavidade para baixo, já que o termo que multiplica o x 2 é negativo. Vamos analisar a interseção dos gráficos:

x 3 = 2 x - x 2

x 3 + x 2 - 2 x = 0

x x 2 + x - 2 = 0

x x + 2 x - 1 = 0

x = - 2 ; x = 0 ; x = 1

Conluímos, assim, que a região R será dividida em dois pedaços, um de - 2 a 0 e outro de 0 até 1 . Vamos ao esboço:

A região R está pintada de verde.

Passo 2

( b ) Para calcular a área devemos montar uma integral com a diferença entre a função mais alta para a mais baixa. No intervalo [ - 2,0 ] a maior é a vermelha ( x 3 ) , em [ 0,1 ] a mais alta é a azul ( 2 x - x 2 ) :

A = - 2 0 x 3 - 2 x - x 2 d x + 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x

= x 4 4 - x 2 + x 3 3 - 2 0 + x 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1

0 4 - 0 + 0 3 - 16 4 - 4 + - 8 3 + 1 - 1 3 - 1 4 + 0 - 0 3 - 0 4

= 8 3 + 5 12

= 32 + 5 12

= 37 12

Resposta

a

b   A = 37 12   u n i d a d e s   d e   á r e a

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = cossec 2 x           ;           y = 2 + cotg 2 x           ;           1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.

Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.

Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua f cima e outro para ser sua f baixo .

Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área A ou em - A , se tiver escolhido a ordem contrária.

Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.

Bom, aquele 2 me faz parecer que essa é a função maior, então vou tentar colocar ela como f cima , mas tanto faz:

a b [ f cima - f baixo ] d x = 1 2 [ 2 + cotg 2 x - cossec 2 x ] d x

Passo 2

Bom, vamos integrar.

1 2 [ 2 + cotg 2 x - cossec 2 x ] d x

PARA TUDO!

Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:

1 + cotg 2 x = cossec 2 x

Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:

1 2 [ 1 + ( 1 + cotg 2 x ) - cossec 2 x ] d x = 1 2 [ 1 + ( cossec 2 x ) - cossec 2 x ] d x = 1 2 [ 1 ] d x

Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:

1 2 [ 1 ] d x = 2 - 1 = 1

Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio 1 , já que é um valor positivo).

Resposta

A = 1

Exercício Resolvido #7

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2012.1 – 2

Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ora, ora. Problema interessante...

Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com concavidade para baixo). Essa curva e o eixo x delimitam uma região R de área A . Vamos ver o seu gráfico?

Queremos achar a equação de uma reta que passa pela origem.

Uma reta vai ser

y = m x + p

Se ela passa na origem p = 0 , então

y = m x

No fundo, queremos calcular m para que a área seja dividida pela metade

Passo 2

Vamos esboçar o que o enunciado nos diz:

No desenho, foi desenhado uma reta genérica que corta y = x - x 2 .

OBS: Em problemas onde ainda não sabemos a equação de alguma curva, é muito útil esboçarmos uma situação genérica para essa curva e começar a fazer os cálculos a partir daí.

Igualando as equações, podemos achar os pontos de interseção:

x - x 2 = m x x 1 - m - x = 0 x = 0   ou   x = 1 - m

Logo, b = 1 - m .

Temos duas formas de prosseguir agora:

1. Dizendo que a área acima da reta é metade da área compreendida entre a parábola e o eixo x .

2. Dizendo que a área acima da reta é igual a área abaixo dela.

Vamos seguir a forma 1, já que a área abaixo da reta é mais difícil de ser calculada (ou teríamos que integrar em relação a y ou dividir em duas áreas).

Para isso é válido saber que a parábola intercepta x em 0 e 1 .

Passo 3

Igualando a área acima da reta à metade da área abaixo da parábola, temos:

0 1 - m [ ( x - x 2 ) - m x ]   d x = 1 2 0 1 x - x 2   d x

1 2 x 2 - 1 3 x 3 - 1 2 m x 2 0 1 - m = 1 2 1 2 x 2 - 1 2 1 3 x 3 0 1

1 2 1 - m 2 - 1 3 1 - m 3 - 1 2 m 1 - m 2 - 0 = 1 4 - 1 6 - 0

Assim, chegamos a uma equação para m :

6 1 - m 2 - 4 1 - m 3 - 6 m 1 - m 2 = 1

1 - m 2 6 - 4 1 - m - 6 m = 1

1 - m 2 2 - 2 m = 1

1 - m 3 = 1 2

1 - m = 1 2 3

m = 1 - 1 2 3

Logo, a equação da reta é: y = 1 - 1 2 3 x

Resposta

y = 1 - 1 2 3 x

Exercício Resolvido #8

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2011.2 – 3

Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x 2 + 1   e y = | 2 x | . Faça um esboço da região.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas:

y = x 2 + 1

y = | 2 x |

O enunciado nos pede para esboçar a área limitada por essas curvas e calculá-la.

Para esboçar as curvas, vamos, primeiro entender melhor as funções dadas:

y = x 2 + 1 y 2 = x 2 + 1 y 2 - x 2 = 1

Isso é uma hipérbole. O gráfico vai ser algo assim

Mas repara que o y é uma raiz quadrada, isso nos diz que ele é positivo, então vamos pegar só a parte de cima.

Passo 2

Agora vamos fazer 2 x

2 x = 2 x ,     x 0 - 2 x ,             x 0

Ela vai ficar

Agora que já podemos esboçar as funções, o próximo passo é igualar as suas equações para acharmos os pontos que elas se interceptam.

Depois, calcularemos a área da região limitada por elas através de integrais.

A nossa área vai ficar então

Entre o verde e o rosa.

Passo 3

Igualando as funções:

x 2 + 1 = 2 x x 2 + 1 = 4 x 2 3 x 2 - 1 = 0

x 1 = 1 3 ,       x 2 = - 1 3

Esboço da região R :

Pela simetria, podemos dizer que a área de R é:

2 0 1 3 x 2 + 1 - 2 x d x = 2 0 1 3 x 2 + 1   d x - 2 x 2 0 1 3 =

= 2 0 1 3 x 2 + 1   d x - 2 3

Passo 4

Vamos calcular a integral: 0 1 3 x 2 + 1 d x .

Como aparece a expressão x 2 + a 2 , vamos tentar a substituição trigonométrica:

x = tg θ ,     d x = sec 2 θ d θ         - π 2 θ π 2

Mudando os limites de integração:

x = 0 tg θ = 0 θ = 0

x = 1 3 = 3 3 tg θ = 3 3 θ = π 6

Aplicando:

0 π 6 tg 2 θ + 1 sec 2 θ d θ = 0 π 6 sec 2 θ sec 2 θ d θ =

= 0 π 6 sec 3 θ d θ = 0 π 6 1 + tg 2 θ sec θ d θ =

= 0 π 6 sec θ d θ + 0 π 6 tg 2 θ sec θ d θ

Passo 5

Resolvendo a segunda integral por partes:

u = tg θ d u = sec 2 θ d θ

d v = tg θ sec θ d θ v = sec θ

0 π 6 sec 3 θ d θ = 0 π 6 sec θ d θ + tg θ sec θ 0 π 6 - 0 π 6 sec 3 θ d θ

Calculando:

0 π 6 sec 3 θ d θ = 1 2 ln | tg θ + sec θ | + tg θ sec θ 0 π 6 =

= 1 2 ln 3 3 + 2 3 + 3 3 2 3 - 0 + 0 = 1 2 ln 3 + 1 3

Substituindo na expressão inicial:

2 0 1 3 x 2 + 1 d x - 2 3 =

= ln 3 + 2 3 - 2 3 = ln ( 3 1 2 ) = 1 2 ln ( 3 )

OBS:

Nesse problema, o enunciado nos pediu explicitamente que teríamos que esboçar a região entre as curvas. Portanto, para fazer isso, tivemos que usar conceitos de derivada primeira e derivada segunda para acharmos a concavidade, ponto de mínimo, etc.

É bom estar com esses conceito frescos na hora da prova. Além disso, é bom saber equações de algumas curvas conhecidas:

y = a x + b   ( reta )

y = a x 2 + b x + c   parábola

x - a 2 + y - b 2 = r 2   ( círculo )

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1   ( elipse )

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1   ( hipérbole )

Resposta

A área é da região é igual a 1 2 ln ( 3 ) .

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