Teoria Completa
Todo mundo quando faz Cálculo, se pergunta por que diachos estudamos integrais. Bom, além de ser um princípio conceitual super importante, para diversas áreas da engenharia, física e matemática, ela tem diversas aplicações práticas. Nessa página estaremos interessados em ir além de entender como elas podem nos dar a área sob funções, e buscar entender como com integrais conseguimos calcular área entre curvas.
Como já sabemos quando estamos calculando integrais definidas de funções que estão a cima do eixo $x$, estamos calculando o somatório de "infinitas" parcelas que quando adicionados nos dão a área abaixo dessa curva:
Acho que essa imagem, consegue te lembrar bem o que eu queria dizer com o parágrafo anterior. Mas e se eu quiser calcular a área de funções que estão abaixo do eixo $x$?
Acontece que quando estivermos trabalhando com a área de integrais delimitadas por curvas que estão abaixo do eixo $x$, precisamos inserir um sinal negativo na frente da integral:
Olha só porque fazemos isso... Imagine que queremos calcular a área da função $f(x)=x^2-4x$. Essa é a função de uma parábola que tem concavidade virada para cima, então a parte que desejamos calcular a área está na parte negativa de $y$, dá uma olhada no gráfico:
Podemos perceber que nossos limites de integração, serão as raízes dessa função, que pelo gráfico podemos dizer serem $x_1=0$ e $x_2=4$, logo para cálcular a área teríamos que fazer a integral:
Resolvendo essa integral...
Ué? Mas como que minha área pode dar um valor negativo? Não faz sentido né? Por isso que temos que adicionar o sinal negativo na frente de integrais que calculem a área de funções que estão abaixo do eixo $x$
Logo, para descobrir corretamente o valor dessa área:
Vamos fazer um exemplo introdutório sobre como trabalhar com esses sinais na hora de calcular a área de uma função, com nosso modelo Passo a Passo.
Vamos calcular a área englobada pela seguinte função, no intervalo $[0,2]$:
Passo 1
Primeiro vamos analisar o nosso exercício... Temos uma função de terceiro grau, então podemos assumir que ela tem no mínimo 3 raízes, e se todas forem reais, essa função cruza o eixo $x$ pelo menos 3 vezes.
Resolvendo a equação é possível, verificar que essas raízes são 0, 1 e 2. Logo o gráfico dessa função tem essa carinha:
Passo 2
Para descobrir a área, temos que calcular uma integral.
Show... Mas antes de sair calculando que nem um doido, observa que essa função, dentro do intervalo de $[0,2]$ está parte sobre o eixo $x$, e parte sobre o eixo $x$. Então para a calcular a área dentro deste intervalo, teremos que decompor a nossa integral original, em duas integrais cada uma representando uma das áreas, uma delas que está na parte positiva de $y$ e a outra que está na parte negativa de $y$:
Passo 3
Nós sabemos que $A_t=A_1+A_2$, mas muita atenção para o sinal que vamos colocar na segunda integral, lembrando que ela está na parte debaixo do eixo $x$:
Pronto, montamos nossa expressão para calcular a área total.
Passo 4
Agora o problema se resume em calcularmos essas duas integrais. Ambas são integrais polinomiais e são bem simples de resolver. Depois da atenção com os limites de integração, temos como resultado:
Cálculo é uma matéria que além de saber a Teoria, é muito importante que o aluno tenha o costume de praticar, com 5 exercícios de cada tópico, todo mundo consegue entender bem como resolver aquele tipo de questão. Com o tópico de área entre curvas, não é diferente, mas não se preocupe, no nosso site, você encontra resoluções Passo a Passo de questões em todos os tópicos, confere lá!
Aproveita e da um bizu nessa resolução em vídeo de uma questão da $UERJ$:
- Determine a área da região R, onde:
- $R$ é a região limitada pela curva $y=x^3_x$, pelo eixo $x$, e pelas retas $x=-2$ e $x=-1$.
Exercício Resolvido #1
Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de
E o eixo , com
Passo 1
Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo e onde está abaixo! O legal é tentar esboçar o gráfico. Aqui é um pouco complicado fazer isso, mas sabemos que essa função só se anula onde o numerador for 0, ou seja, .
Agora segue aqui comigo:
Então se for negativo, . Agora se for positivo, então . Então a gente pode pensar em algo assim:
Repara que o denominador não pode zerar, e nele também temos uma raíz quadrada. Então a função não existe para . Porém como nosso limite de integração superior é , não vamos nos preocupar com isso.
Passo 2
Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo , então vamos usar a seguinte fórmula:
Passo 3
Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para e aplicar os limites de integração:
Bem, esse é o caso , .
Temos que fazer,
Substituindo na integral dada.
Passo 4
Agora, usando a substituição
Então a integral fica assim,
Voltando para :
Passo 5
Usando o triângulo retângulo para converter o na variável inicial:
Então temos que
Passo 6
Agora vamos aplicar os limites de integração:
O que vai dar:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine a área da região , onde:
é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
Passo 1
Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o em evidência:
Olha, o tem raiz em . Já o não tem nenhuma raiz e é sempre positivo. Ou seja, ao que parece essa função do terceiro grau só tem raiz em e é negativa quando é negativo e positiva quando ele é positivo. Essas informações já são suficientes para esboçar algo assim:
Passo 2
Olha lá uma parte em que está acima do eixo e outra que está abaixo. Então o que faremos? Vamos separar em duas regiões! A primeira está à esquerda do eixo e vamos chamar de e a segunda, que está a direita, vamos chamar de . Portanto,
Passo 3
Primeiro vamos analisar a área . Nessa área é menor que 0, então vamos fazer
Passo 4
Agora para a área aquela que está à direita do eixo , temos que a função é positiva. Então,
Passo 5
Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule a área delimitada entre as curvas:
Passo 1
Vamos lá desenhando a região primeiro. Vou começar pelo :
Bom, esse é o desenho base desse gráfico, que tem forma de hipérbole. Agora vou pensar em como encaixar os outros. Ora, tenho que ver aonde eles se interceptam! Primeiro o :
Agora, eu vou botar o outro, o :
Além de que ela toca a quando :
Então essa área entre os gráficos está aí marcada com . Lembrando que até teria uma outra área ali embaixo entre os gráficos, só que o cara especificou que .
Então, a integral está rolando de até , sendo que até o nós temos vermelho por cima e verde por baixo e a partir daí temos azul em cima e verde embaixo, ou seja:
Passo 2
Agora vamos integrar!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule a área delimitada entre as curvas:
Passo 1
Começamos desenhando as duas parábolas:
Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:
Bom, se eu adicionar ainda o gráfico uma vertical paralela ao eixo passando em :
Já tenho ali a minha área definida, então.
Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:
de até eu tenho a parábola de cima sobre a parábola de baixo
de até tenho a reta não vertical em cima da parábola de baixo. Assim:
Passo 2
Integrando uma de cada vez:
Passo 3
Agora a segunda parte
Passo 4
Juntando tudo
Resposta
Exercício Resolvido #5
Considere a região delimitada pelas curvas e
Esboce a região .
Calcule a área da região .
Passo 1
Para esboçar vamos primeiro reparar que um gráfico é , que vem de para e depois explode para , e o outro é , que tem raízes em e e tem concavidade para baixo, já que o termo que multiplica o é negativo. Vamos analisar a interseção dos gráficos:
Conluímos, assim, que a região será dividida em dois pedaços, um de a e outro de até . Vamos ao esboço:
A região está pintada de verde.
Passo 2
Para calcular a área devemos montar uma integral com a diferença entre a função mais alta para a mais baixa. No intervalo a maior é a vermelha , em a mais alta é a azul :
Resposta
Exercício Resolvido #6
Calcule a área delimitada entre as curvas:
Passo 1
Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.
Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.
Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua e outro para ser sua .
Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área ou em , se tiver escolhido a ordem contrária.
Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.
Bom, aquele me faz parecer que essa é a função maior, então vou tentar colocar ela como , mas tanto faz:
Passo 2
Bom, vamos integrar.
PARA TUDO!
Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:
Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:
Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:
Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio , já que é um valor positivo).
Resposta
Exercício Resolvido #7
Seja a região limitada entre e o eixo . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide em duas subregiões com áreas iguais.
Passo 1
Ora, ora. Problema interessante...
Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com c