Área de Superfícies de Revolução

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Teoria

Eu sei que o nome assusta, mas vamos com calma.

Primeiro, uma superfície de revolução é uma superfície gerada quando giramos uma curva em torno de um eixo.

Por exemplo, a esfera é uma superfície de revolução. Se girarmos a função

y =   a 2 - x 2

Que é um semi-círculo de raio a e centrado na origem, em torno do eixo x , teremos a seguinte superfície resultante:

Rodando em torno do eixo x

Se uma função y = f x ≥ 0 é derivável num intervalo [ a , b ] , então a área da superfície gerada pela rotação dessa função em torno do eixo x é dada por:

  S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ´ x 2   d x

Rodando em torno do eixo y

Se uma função x = g ( y ) ≥ 0 é derivável num intervalo [ c , d ] , então a área da superfície gerada pela rotação dessa função em torno do eixo y é dada por:

  S = ∫ c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

Só aplicação de fórmula! Mas vejamos isso aí na prática.

O segmento de reta x = 1 - y ,     0 ≤ y ≤ 1 é girado em torno do eixo y , gerando o cone da figura abaixo. Vamos calcular a área superficial lateral desse sólido de revolução.

Uma observação importante: as fórmulas servem pra calcular só a área que foi gerada pela rotação. Ou seja, nesse caso é justamente o que ele quer: a área lateral do cone.

Caso ele pedisse a área externa toda do cone, teríamos que acrescentar a área da base, beleza?

Enfim, basta usar a fórmula com g y = 1 - y , e os intervalos de integração c = 0 e d = 1 :

S = ∫ 0 1 2 π ( 1 - y )   1 + 1 - y ´ 2   d y

S = ∫ 0 1 2 π ( 1 - y )   2   d y

⇒ S = 2 π 2   y - y 2 2 0 1 = 2 π

Rodando em torno do eixo x

Rodando em torno do eixo y

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as áreas das superfícies geradas pela rotação da curvas em torno dos eixos indicados.

x = 2 y - 1 ,     5 8 ≤ y ≤ 1 ,     e i x o   y

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva x = 2 y - 1 em torno do eixo y no intervalo 5 8 ≤ y ≤ 1 . A função é derivável em todo o intervalo.

Portanto, tudo o que temos que fazer é utilizar aquela fórmula esperta de área usada para quando queremos a área da superfície lateral quando temos uma rotação em torno do eixo y :

S =   ∫ c d 2 π x   1 + g ´ y 2 d y = ∫ c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

Passo 2

Vamos achar os elementos da integral.

Temos

g y =   2 y - 1 → g ´ y = 2   . 1 2 2 y - 1 - 1 2 = 2 y - 1 - 1 2

g ´ y 2 = 2 y - 1 - 1 = 1 2 y - 1

S = ∫ 5 8 1 2 π x   1 + 1 2 y - 1   d y

S = ∫ 5 8 1 2 π 2 y - 1   1 + 1 2 y - 1   d y

Passo 3

Agora temos que resolver essa integral aí.

Olha só o que eu vou fazer. Vou juntar os dois termos que estão dentro da raiz:

S = ∫ 5 8 1 2 π 2 y - 1 1 + 1 2 y - 1   d y

S = ∫ 5 8 1 2 π 2 y - 1 + 1   d y

S = ∫ 5 8 1 2 π 2 y   d y

S = 2 π 2 ∫ 5 8 1 y 1 2   d y

S = 2 π 2 . 2 3 y 3 2 5 / 8 1

S = 4 π 2 3   1 3 2 - 5 8 3 2 = 4 π 2 3 1 - 5 3 2 8 3   2  

Vamos dar uma arrumada nesse valor

S = 4 π 2 3 1 - 5 2 . 5   2 2 3 3 2 = 4 π 2 3 1 - 5   5 2 9 2 =     4 π 2 3 1 - 5   5 2 8 . 2 2    

S = 4 π 2 3 1 - 5   5 2 4 . 2 =     4 π 2 3 1 - 5   5 16 2

S = 4 π 2 3 16 2 - 5 5 16 2

S = π 12 16 2 -   5 5

Resposta

S = π 12 16 2 -   5 5 u . a .

Exercício Resolvido #2

Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do pedaço de astróide x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 , mostrado a seguir

Dica: Gire o pedaço do primeiro quadrante em torno do eixo x e dobre o resultado

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução gerada pela rotação da função x 2 3 + y 2 3 = 1   em torno do eixo x . No enunciado, é dado o desenho da função, e podemos perceber que ela é simétrica.

Além disso, ele mesmo dá como dica calcular a área do sólido gerado pela rotação da função no primeiro quadrante e depois multiplicar por dois. A função no primeiro quadrante é:

y = 1 - x 2 3 3 2 ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Novamente, basta utilizamos aquela fórmula espertinha para calcular a área de uma superfície de revolução, gerada pela rotação de uma função em torno do eixo x , lembrando que, nesse caso, a fórmula estará multiplicada por dois, pois estamos usando como f ( x ) a função do primeiro quadrante e ela daria apenas metade da área da figura formada, beleza? Por isso eu vou escrever assim:

  S = 2   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

Aí esse S já vai ser a área da figura toda que eu quero \o/

Temos f x =   1 - x 2 3 3 2 → f ´ x = 3 2 - . 2 3 x - 1 3 1 - x 2 3 1 2 = - x - 1 3 1 - x 2 3 1 2 = - 1 - x 2 3 1 2 x 1 3

f ´ x 2 = - 1 - x 2 3 1 2 x 1 3 2 = 1 - x 2 3 x 2 3 = 1 x 2 3 - 1

  S = 2   ∫ 0 1 2 π y   1 + 1 x 2 3 - 1   d x

S = 2 ∫ 0 1 2 π 1 - x 2 3 3 2   1 x 2 3   d y

S = 2 ∫ 0 1 2 π 1 - x 2 3 3 2 x - 2 3   d y

S = 2 ∫ 0 1 2 π 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3   d y

Passo 3

Agora temos que resolver a integral. Essa integral aí sai por substituição. Vou resolver a primitiva primeiro e depois aplicamos os limites de integração, pode ser?

∫ 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3 d y  

u = 1 - x 2 3 → d u = - 2 3 u - 1 3 d y

x - 1 3   d y =   - 3 2 d u  

∫ 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3 d y = - 3 2 ∫ u 3 2   d u  

= - 3 2   u 5 2 5 2 =   - 3 2   . 2 5   u 5 2 =   - 3 5 u 5 2

Voltando para x :

∫ 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3 d y =   - 3 5 1 - x 2 3 5 2    

Substituindo os limites de integração para calcular a integral definida:

∫ 0 1 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3 d y =   - 3 5 1 - x 2 3 5 2 1 0

= - 3 5 1 - 1 5 2 + 3 5 1 - 0 5 2 = 3 5

Passo 4

Agora calculamos a área:

S = 2 .   2 π ∫ 0 1 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3   d y

S = 4 π ∫ 0 1 1 - x 2 3 3 2 x - 1 3   d y

S = 12 π 5

Resposta

S = 12 π 5   u . a .

Exercício Resolvido #3

Eis um desenho esquemático da redoma de 90 pés usada pelo Serviço Meteorológico Nacional dos Estados Unidos para abrigar um radar em Bozeman, Montana.

Se a redoma fosse pintada, qual a área da superfície que receberia tinta (sem contar a base)?

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução dada na figura. Primeiro temos que achar qual é a função que deu origem a essa superfície de revolução. Sabemos que o raio da redoma é R = 45   p é s .

Repara que temos a parte de uma esfera. A esfera vai ser a rotação de uma circunferência.

Então temos que achar a equação da circunferência que gera essa esfera

A equação de uma circunferência é dada por:

x 2 + y 2 = R 2

Nesse caso, R = 45

x 2 + y 2 = 45 2

Vamos considerar o eixo y sendo aquele eixo do desenho e o eixo x passando pelo centro.

Agora olha bem para o desenho que ele deu. Essa superfície foi gerada pela rotação da circunferência com y indo de - 22,5 até 45 .

Então vamos rodar

x 2 + y 2 = 45 2

Com

- 22,5 ≤ y ≤ 45

Passo 2

Novamente, temos que utilizar aquela fórmula espertinha para calcular a área de uma superfície de revolução, gerada pela rotação de uma função em torno do eixo y .

S =   ∫ c d 2 π x   1 + g ´ y 2 d y = ∫ c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

A função que está sendo rotacionada é a função g y =   45 2 - x 2 . Achamos essa função isolando o y na equação da circunferência.

O nosso intervalo de integração será de - 22,5 a 45 . Então temos:

Temos g y =   45 2 - y 2 → g ´ y = - 1 2 2 y   45 2 - y 2 - 1 2 = - y 45 2 - y 2 - 1 2

g ´ y 2 = y 2   45 2 - y 2 - 1 = y 2 45 2 - y 2

S = ∫ - 22,5 45 2 π x   1 + y 2 45 2 - y 2   d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2 - y 2   1 + y 2 45 2 - y 2   d y

Passo 3

Para resolver essa integral, vou fazer o seguinte:

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2 - y 2 1 + y 2 45 2 - y 2   d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2 - y 2 + y 2     d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2     d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π   45     d y

S = 90 π . y 22,5 45 = 90 π 45 - - 22,5 = 6075   π   p é s 2

Resposta

S = 6075   π   p é s 2

Exercício Resolvido #4

Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado

y = ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Com

1 ≤ x ≤ 5

Rotacionando em torno do eixo x

Passo 1

Queremos a expressão da integral para calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação da função definida como

y =   ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Em torno do eixo x .

Novamente, basta utilizamos aquela fórmula espertinha para calcular a área de uma superfície de revolução, gerada pela rotação de uma função em torno do eixo x :

  S =   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

Passo 2

Aqui, temos:

f x =   ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Nesse caso, para calcularmos f ´ ( x ) vamos resgatar quem? Queeem? Isso mesmo, o teorema mais amado e idolatrado do Cálculo: o TFC!

f ´ x = x 2 - 1

f ´ x 2 = x 2 - 1 2 = x 2 - 1

  S =   ∫ 1 5 2 π   ∫ 1 x t 2 - 1   d t   1 + x 2 - 1   d x

S = 2 π   ∫ 1 5 ∫ 1 x t 2 - 1   d t   x 2   d x

S = 2 π   ∫ 1 5 ∫ 1 x t 2 - 1   d t   x   d x

Repara que ele só pede para obter a integral, ele não pede para calcular a área. Então não precisa se preocupar em encontrar um valor para a integral. A resposta é essa daí!! Acabooou!

Resposta

  S = 2 π   ∫ 1 5 ∫ 1 x t 2 - 1   d t   x   d x

Exercício Resolvido #5

a) A fórmula da área de superfície foi desenvolvida sob o pressuposto de que a função f , cujo gráfico gerou a superfície, era não negativa no intervalo de integração. Para curvas que cruzam o eixo de revolução, substituímos a equação pela fórmula de valor absoluto

S = ∫ 2 π ρ d s = ∫ 2 π f x d s

Use essa equação para determina a área de superfície do cone duplo gerado pela rotação, em torno do eixo x , do segmento de reta y = x , - 1 ≤ x ≤ 2

b) Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , da curva

y = x 3 9 ,     - 3 ≤ x ≤ 3

Passo 1

a )   Queremos a área da superfície gerada pela reta y = x   em torno do eixo x no intervalo - 1 ≤ x ≤ 2 . Nesse caso, como a função assume valores negativos e positivos no intervalo, iremos considerar o seu valor absoluto. Sem pânico. Acompanha aqui comigo que eu garanto ;)

Passo 2

Temos que usar a mesma fórmula que já utilizamos antes para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função em torno do eixo x :

S =   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

f x = x → f ´ x = 1

f ´ x 2 = 1

S = ∫ - 1 2 2 π y   1 + 1   d x

S = ∫ - 1 2 2 π 2   y   d x

Belezinha até aí?? Então repara só. Nesse intervalo de integração, que vai de - 1 a 2 , a função y = f x = x assume valores positivos e negativos. Então ao invés de substituir y ali por x vou substituir por | x | , beleza?

S = ∫ - 1 2 2 π   2   | x |   d x

Passo 3

Para resolver, a primeira coisa que tenho que fazer é dividir os intervalos de integração:

x =   x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

No intervalo [ - 1,0 ] , y = - x e no intervalo de [ 0,2 ] , y = x . Portanto, escrevemos:

S =   ∫ - 1 2 2 π   2 | x |   d x = 2   2   π   ∫ - 1 0 - x   d x + ∫ 0 2 x   d x

S = 2 2 π   - x 2 2 0 - 1 + x 2 2 2 0

S = 2 2 π   0 + 1 2 + 4 2 - 0

S = 2   2 π 5 2 = 5   2 π

Passo 4

b )   Queremos a área da superfície gerada pela curva y = x 3 9   em torno do eixo x no intervalo - 3   ≤ x ≤ 3 . Novamente, a função assume valores negativos e positivos no intervalo, iremos considerar o seu valor absoluto.

Passo 5

Vamos usar a nossa fórmula velha conhecida:

S =   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

f x = x 3 9 → f ´ x = 3 x 2 9 = x 2 3

f ´ x 2 = x 4 9

S = ∫ - 3 3 2 π y   1 + x 4 9   d x

Como a função assume valores positivos e negativos no intervalo, vou substituir y ali na fórmula por x 3 9

S = ∫ - 3 3 2 π x 3 9   1 + x 4 9   d x

Passo 6

Como a função é simétrica, podemos considerar o intervalo de [ 0 , 3 ] em que a função é positiva e multiplicar por 2 . Assim:

S = 2 ∫ 0 3 2 π x 3 9   1 + x 4 9   d x

Passo 7

Para resolver a integral, utilizamos substituição simples:

∫ x 3 9 1 + x 4 9 d x

u = 1 + x 4 9 → d u = 4 x 3 9   d x

x 3 9 d x = d u 4

∫ x 3 9 1 + x 4 9 d x = 1 4 ∫ u 1 2 d u

= 1 4 2 3 u 3 2 = 1 6 u 3 2

Voltando para x :

∫ x 3 9 1 + x 4 9 d x = 1 6 1 + x 4 9 3 2