1.

A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t sen ⁡ t ) .

Mostre que o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Resolução
2.

Considere a hélice definida por σ θ = acos ⁡ θ ,   a s e n   θ ,   b θ . Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo z , e que o cosseno dessa ângulo é b a 2 + b 2 .

Resolução
3.

Encontre o ponto da curva parametrizada por r t = 3 t 2 - 3 t , t 3 , t ∈ R , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor u = 1,1 .

a) 1,0

b) 0,1

c) 0,0

d) 6,8

e) 6 , - 1

Resolução
4.

Considere a curva parametrizada plana α definida por α t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 .

  1. Encontre apenas um parâmetro t que corresponda a um ponto do traço de α (imagem) onde o vetor velocidade V t é paralelo à reta y = x .
  2. Seja β : R → R 3 a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de z = y - 1 2 - x - 2 2 e cuja projeção de β t no plano x y é α .
  1. Exiba uma parametrização de β .
  2. Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 do traço de β em que a reta tangente r é paralela ao plano O x y .
Resolução
5.

Uma partícula se move de acordo com a lei r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para todo t ∈ R .

Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos O x , O y e O z , respectivamente.

Resolução
6.

A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t sen ⁡ t ) .

Mostre que o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Resolução
7.

Encontre o ponto da curva parametrizada por r t = 3 t 2 - 3 t , t 3 , t ∈ R , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor u = 1,1 .

a) 1,0

b) 0,1

c) 0,0

d) 6,8

e) 6 , - 1

Resolução
8.

Uma partícula se desloca no plano x y com vetor posição definido por r t = 2 t 3 ,   1 + 4 t + t 2 , t ≥ 0 . Num dado instante ela se encontra num ponto P 0 de sua trajetória tal que sua velocidade faz um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Encontre P 0 .

Resolução
9.

Considere a curva C parametrizada por r t = t 2 , t 3 , t 4 ,   t ≥ 0 . O vetor tangente a C no ponto P o é paralelo ao vetor u → = 4,3 , 2 . Encontre P 0 .

Resolução
10.

A curva C parametrizada por r t =   t , t 2 , t 2 ,   t ≥ 0 , intercepta ortogonalmente o plano x + y + z = a ,   a ∈ R . Qual o valore de a ?

Resolução
11.

Seja a curva C parametrizada por

r t = 2 t , t 2 , t 3 ,   t ∈ R

O ponto na curva onde o vetor tangente é também um vetor normal ao plano

x + 2 y + 6 z = 0

É:

  1. ( 4,4 , 8 )
  2. ( 2,1 , 1 )
  3. ( 0,0 , 0 )
  4. ( 1,2 , 6 )
  5. ( 2,4 , 12 )
Resolução
12.

a) As afirmações II e III são falsas.

b) As afirmações II e IV são falsas.

c) As afirmações I e III são falsas.

d) As afirmações I e IV são falsas.

e) Todas as afirmações são falsas.

r t = cos 2 ⁡ t , sen 2 ⁡ t , sen 2 ⁡ t

Resolução
13.

Considere as retas parametrizadas por

r 1 t = 1 + 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

r 2 t = 1 + t , 1 + 2 t , 1 + 3 t

t ∈ R

Qual dos planos abaixo contém ambas as retas?

  1. - x - y - z + 3 = 0
  2. - x - y - z - 1 = 0
  3. x - y + z - 1 = 0
  4. x + y - z - 1 = 0
  5. - 3 x - 3 y + 3 z + 2 = 0
Resolução
14.

Seja C a curva no plano x y parametrizada por

r t = t 2 - 1 , t 3 - t ,   t ∈ R

E considere as seguintes afirmativas:

  1. C cruza o eixo y em um único ponto do plano.
  2. C é tangente à reta x = - 1 em um único ponto do plano.
  3. C está contida no gráfico da função y = f x = x x + 1

Indique a alternativa correta:

  1. Todas as afirmativas são verdadeiras
  2. As afirmativas I e II são verdadeiras e a III é falsa
  3. As afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa
  4. As afirmativas II e III são verdadeiras e a I é falsa
  5. Todas as afirmativas são falsas
Resolução
15.

A equação do plano que passa pelo ponto ( - 2 ,   8 ,   10 ) e é perpendicular a reta L :   x = 1 + t ,     y = 2 t ,   z = 4 - 3 t ,     t ∈ R   é dada por:

  1. x + y + z - 6 = 0
  2. x =   - 2 + t ,   y = 8 + 2 t ,   z = 10 - 3 t ,     t ∈ R
  3. 4 x + y + z - 10 = 0
  4. x + 2 y - 3 z + 16 = 0
  5. x + 2 y - 3 z = 0
Resolução
16.

Os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à curva y = 2 x 2 no ponto ( 2,8 ) são:

  1. ± i ^ + j ^ 65
  2. ± i ^ + 8 j ^ 65
  3. ± 2 i ^ + 8 j ^ 65
  4. ± 2 i ^ - 8 j ^ 65
  5. ± i ^ - 8 j ^ 65
Resolução
17.

Considere a curva plana parametrizada

α t = t 2 , t 3 - t ,       t ∈ R

  1. Determine todos os pontos da curva plana nos quais a reta tangente é horizontal ou vertical.
  2. Determine se o traço da curva plana é simétrico com respeito ao eixo x ou ao eixo y
  3. Encontre funções f 1 : 0 , ∞ → R e f 2 : 0 , ∞ → R tais que a união de seus gráficos seja o traço da curva plana dada.
  4. Com o auxilio das informações obtidas nos itens i , i i e i i i , esboce o traço da curva plana, justificando corretamente o desenho da curva obtido. Identifique em seu desenho a orientação da curva, esboçando o vetor velocidade em três pontos distintos.
Resolução
18.

Considere a curva parametrizada plana α definida por α t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 .

  1. Encontre apenas um parâmetro t que corresponda a um ponto do traço de α (imagem) onde o vetor velocidade V t é paralelo à reta y = x .
  2. Seja β : R → R 3 a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de z = y - 1 2 - x - 2 2 e cuja projeção de β t no plano x y é α .
  1. Exiba uma parametrização de β .
  2. Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 do traço de β em que a reta tangente r é paralela ao plano O x y .
Resolução
19.

Uma partícula se move de acordo com a lei r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para todo t ∈ R .

a) Determine, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atravessa o plano x O z .

b) Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos O x , O y e O z , respectivamente.

Resolução
20.

As curvas C 1 e C 2 parametrizadas respectivamente por

r 1 t = e t 2 - t 2 , sin ⁡ t π , t ∈ R

r 2 s = s - 1 2 + 1 , s , s ∈ R

Passam pelo ponto P = 1,1 . O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas C 1 e C 2 no ponto P é:

a) π

b) π 2

c) π 4

d) π 8

e) π 3

Resolução
21.

Considere a curva C parametrizada pelas equações x = t 3 + 3 t 2 + 2 t e y = 3 - 2 t - t 2 , com - 3 ≤ t ≤ 1 . Em que ponto o vetor tangente a C é horizontal?

a) 0,4

b) 0,3

c) - 6,0   e   0,6

d) Nenhum ponto

e) Nenhuma das alternativas

Resolução

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