Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.3 - Ex. 47

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desse livro

Um barril com 2000   L de cerveja contém 4   % de álcool (por volume). Cerveja com 6   % de álcool é bombeada para dentro do barril a uma taxa de 20   L / m i n e a mistura é bombeada para fora à mesma taxa. Qual é a porcentagem de álcool depois de uma hora?

Passo 1

Hey, galera! Aqui a gente basicamente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva o que tá acontecendo nessa situação, pra depois resolvê-la.

Veja, tá entrando e saindo cerveja com diferentes porcentagens de álcool. Se chamarmos de x t   a concentração de álcool no barril no instante t , então d x d t seria a variação dessa concentração no tempo, depois a gente se preocupa em converter pra porcentagem. Basicamente, a gente tem que olhar pra quantidade que entra e que sai, e a velocidade ou taxa em que cada coisa acontece. Vamo lá?

Passo 2

Então, pessoal, vamos subtrair a taxa de saída de álcool da taxa de entrada, não esquecendo de dividir pelo volume do barril, já que estamos buscando a variação da concentração:

d x d t = t a x a   d e   e n t r a d a   d e   á l c o o l - t a x a   d e   s a í d a   d e   á l c o o l v o l u m e   d o   b a r r i l

Essas taxas não são as mesmas de entrada ou saída de cerveja, pois a cerveja não é feita somente de álcool . Temos que saber qual a fração da taxa de entrada ou saída de cerveja corresponde à taxa de entrada ou saída de álcool, e pra isso, basta multiplicar pelas respectivas concentrações de álcool.

O enunciado nos deu a concentração de 6   % para a cerveja que entra, e x t é a concentração para a cerveja que sai:

d x d t = 2 0   L / m i n × 6 %   -   20 L / m i n × x ( t ) 2000   L

d x d t = 2 0   .     0,0 6 - 2 0 x 2000

d x d t = 0,0 6 - x 100

Passo 3

Agora é só resolver a equação diferencial separável, botando cada variável pra um lado, e integrando separadamente:

1 0,0 6 - x   d x = 1 100   d t

∫ 1 0,0 6 - x   d x = ∫ 1 100   d t + C

- ln ⁡ 0,0 6 - x = t 100 + C

0,0 6 - x = e - t 100 + C

0,0 6 - x = C e - t 100

No instante inicial, a concentração era 4   % , então x 0 = 0,0 4 e usamos isso pra calcular C :

0,0 6 - 0,0 4 = C e - 0 100

C = 0,02

Agora substituímos o valor de C e isolamos o x :

0,0 6 - x = 0,02   e - t 100

x t = 0,0 6 - 0,0 2   e - t 100

Como o enunciado pede a porcentagem de álcool, é só multiplicar a função que achamos por 100:

x t = 6 - 2   e - t 90

Passo 4

Show! No passo anterior a gente encontrou a porcentagem de álcool no barril em função do tempo, então, pra descobrir qual vai ser a porcentagem depois de uma hora é só calcular x 60 , pois nossos cálculos foram feito para t em minutos, beleza?

x 60 = 6 - 2   e - 60 100

x 60 =   6 - 2   e - 0,6 ≈ 4,9 %

Resposta

  6 - 2   e - 0,6 ≈ 4,9 %

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